Another Explanation (5): সমাধান:
প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:
\(\arccot \circ \arcsin x\) এর মান কি?
আমরা বুঝতে পারি যে, মূলত এটি হচ্ছে কম্পোজিশন ফাংশন:
\(\arccot(\arcsin x)\)।
প্রথমে, \(\arcsin x\):
\(\arcsin x\) হল সেই কোণ \(\theta\), যার জন্য:
\[
\sin \theta = x, \quad \text{যেখানে} \quad -1 \leq x \leq 1, \quad -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
\]
এখন, আমাদের লক্ষ্য হলো:
\[
\arccot(\arcsin x) = \arccot(\theta)
\]
যেহেতু \(\theta = \arcsin x\), তাই:
\[
\arccot(\theta) = \text{কোণ } \phi \text{ যার জন্য } \cot \phi = \theta
\]
অথবা:
\[
\phi = \arccot \theta
\]
তাই, \( \arccot \circ \arcsin x \) এর মান হলো সেই \(\phi\), যেখানে:
\[
\cot \phi = \theta = \arcsin x
\]
এখন, \(\cot \phi = \frac{\cos \phi}{\sin \phi}\), এবং \(\phi\) এর জন্য নির্দিষ্ট সীমা হলো \(0 < \phi < \pi\) (যেহেতু \(\arccot\) সাধারণত এই সীমায় নেওয়া হয়)।
তাহলে, আমরা পেতে পারি:
\[
\cot \phi = \arcsin x
\]
এবং \(\arcsin x\) এর মান \(\theta\) (যা \(-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\))।
তাই,
\[
\cot \phi = \theta
\]
এখন, \(\cot \phi = \frac{\cos \phi}{\sin \phi}\), এবং \(\phi\) এর জন্য:
\[
\phi = \arccot \theta
\]
তবে, \(\theta = \arcsin x\), তাই:
\[
\phi = \arccot(\arcsin x)
\]
এখন, এই মানের সরলীকরণ করতে হবে।
**অর্থাৎ,**
\[
\arccot(\arcsin x)
\]
এই অংকের মানটি সরলীকরণে আমরা লক্ষ্য করবো যে,
যেহেতু \(\arcsin x = \theta\), যেখানে \(\sin \theta = x\), এবং \(\theta \in [-\pi/2, \pi/2]\), তাহলে \(\arccot \theta\) এর মান নির্ভর করবে \(\theta\) এর উপর।
তবে, একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক হলো:
\[
\arccot y + \arctan y = \frac{\pi}{2}
\]
অতএব, \(\arccot y = \frac{\pi}{2} - \arctan y\),
যেহেতু \(\arcsin x = \theta\), তাহলে \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\) (যেখানে \(\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}\), কারণ \(\theta \in [-\pi/2, \pi/2]\))।
সুতরাং,
\[
\arctan (\sin \theta / \cos \theta) = \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right)
\]
অর্থাৎ,
\[
\arccot (\arcsin x) = \frac{\pi}{2} - \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right)
\]
তাই, **উত্তর হল:**
\(\boxed{\frac{\pi}{2} - \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right)}\)
এবং যখন \(x\) এর মান \(-1 \leq x \leq 1\), এই মানটি প্রযোজ্য।
**সাধারণত, এই মানকে সরাসরি দেখতে গেলে, এটি মূলত \(x\) এর মানের উপর নির্ভর করে।**
