inte^x(sinx+cosx)dx= কত?

সমাধান:

আমাদের দেওয়া ইন্টিগ্রাল:

\( \int e^{x} (\sin x + \cos x) \, dx \)

ধাপ ১: বিভক্ত করে ইন্টিগ্রাল

\( \int e^{x} \sin x \, dx + \int e^{x} \cos x \, dx \)

ধাপ ২: সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করতে

প্রথমে, ধরি

\( I = \int e^{x} \sin x \, dx \)

অপরদিকে,

\( J = \int e^{x} \cos x \, dx \)

ধাপ ৩: ডিফারেনশিয়াল সমাধান

প্রথমে, \( I \) এর জন্য ডিফারেনশিয়াল করি

\( \frac{dI}{dx} = e^{x} \sin x + e^{x} \cos x \)

অথবা,

\( \frac{dI}{dx} = e^{x} (\sin x + \cos x) \)

এবং, \( J \) এর জন্য

\( \frac{dJ}{dx} = e^{x} \cos x - e^{x} \sin x \)

ধাপ ৪: সম্পর্ক স্থাপন ও সমাধান

দেখা যাচ্ছে,

\( \frac{dI}{dx} + \frac{dJ}{dx} = e^{x} (\sin x + \cos x) + e^{x} (\cos x - \sin x) = 2 e^{x} \cos x \)

তবে, মূল লক্ষ্য হলো:

\( \frac{d}{dx} (e^{x} \sin x) \)

পরীক্ষা করে দেখি,

\( \frac{d}{dx} (e^{x} \sin x) = e^{x} \sin x + e^{x} \cos x \)

ধাপ ৫: সমাধান

অতএব,

\( \int e^{x} (\sin x + \cos x) \, dx = e^{x} \sin x + C \)

উত্তর:

\( \boxed{ e^{x} \sin x + C } \)