\( \int \sin x^\circ \, dx = ? \)

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

\( \int \sin x^\circ \, dx \)

উত্তর:

\( -\frac{180}{\pi} \cos \left( \frac{\pi x}{180} \right) + C \)

সমাধান:

প্রথমে লক্ষ্য করুন যে, ডিগ্রিতে দেওয়া ফাংশনটির ইন্টিগ্রেশন করার জন্য, আমাদের ডিগ্রিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করতে হবে।

ধরি:

\[ u = x^\circ \] তাহলে, \( u \) ডিগ্রিতে, এবং আমরা জানি:

\[ \text{1 ডিগ্রি} = \frac{\pi}{180} \text{ রেডিয়ান} \]

অতএব, \( x^\circ \) থেকে রেডিয়ানে রূপান্তরের জন্য:

\[ \theta = \frac{\pi x}{180} \]

অর্থাৎ:

\[ x^\circ = \frac{180}{\pi} \theta \]

ইন্টিগ্রেশন করতে হলে, ডিগ্রিতে দেওয়া \(\sin x^\circ\) এর জন্য পরিবর্তন করব রেডিয়ানে:

\[ \int \sin x^\circ \, dx = \int \sin \left( \frac{\pi x}{180} \right) dx \]

পরিবর্তনীয়: \( u = \frac{\pi x}{180} \Rightarrow du = \frac{\pi}{180} dx \Rightarrow dx = \frac{180}{\pi} du \)

অতএব, ইন্টিগ্রেশন হবে:

\[ \int \sin u \times \frac{180}{\pi} du = \frac{180}{\pi} \int \sin u \, du \]

অন্যদিকে, \(\int \sin u \, du = - \cos u + C\)

অতএব, মূল সমাধান:

\[ \int \sin x^\circ \, dx = \frac{180}{\pi} \times (- \cos u) + C = - \frac{180}{\pi} \cos \left( \frac{\pi x}{180} \right) + C \]

শেষ কথা:

অতএব,

\[ \boxed{ \int \sin x^\circ \, dx = - \frac{180}{\pi} \cos \left( \frac{\pi x}{180} \right) + C } \]