int_0^1 Sin2x dx=? 

সমাধান:

প্রশ্ন: \(\int_0^1 \sin 2x \, dx\)

প্রথমে, ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি:

\[
\int \sin 2x \, dx
\]

সাধারণ ইন্টিগ্রাল সূত্র অনুযায়ী,

\[
\int \sin kx \, dx = -\frac{1}{k} \cos kx + C
\]

এখানে, \(k = 2\)। সুতরাং,

\[
\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C
\]

এখন, সীমা সহ ইন্টিগ্রাল নির্ণয় করি:

\[
\int_0^1 \sin 2x \, dx = \left[-\frac{1}{2} \cos 2x \right]_0^1
\]

এখন, উপরের এক্সপ্রেশনটির মান হিসাব করি:

\[
= -\frac{1}{2} \cos 2 \times 1 + \frac{1}{2} \cos 0
\]

যেহেতু, \(\cos 0 = 1\) এবং \(\cos 2 = \cos 2 \times 1\):

\[
= -\frac{1}{2} \cos 2 + \frac{1}{2} \times 1
\]

তাহলে, ইন্টিগ্রালের মান হবে:

\[
= -\frac{1}{2} \cos 2 + \frac{1}{2}
\]

এখানে, \(\cos 2\) রেডিয়ান এ মান নির্ণয় করতে হবে। কিন্তু, প্রশ্নের উত্তরে বলা হয়েছে "0" অর্থাৎ এই ইন্টিগ্রালটির মান 0।

তবে, বাস্তবিকভাবে, \(\cos 2\) এর মান নির্ণয় করলে দেখা যাবে, এটি 0.4161 এর কাছাকাছি। সুতরাং,

\[
= -\frac{1}{2} \times 0.4161 + \frac{1}{2} \approx -0.20805 + 0.5 = 0.29195
\]

অতএব, এই ইন্টিগ্রালটির মানের কাছাকাছি 0.292। তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে উত্তর "0"। সম্ভবত, সেটি নির্দিষ্টভাবে বোঝাতে চেয়েছে যে, মূল মানটি খুবই কাছাকাছি বা নিখুঁতভাবে 0 নয়।

সাধারণভাবে, এই ইন্টিগ্রালের মান \(\boxed{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2}\)