একটি বৃত্তের সমীকরণ  2x²+2y²+7x-5y+c=0 

বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করলে,c এর মান কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া বৃত্তের সমীকরণ: \[ 2x^2 + 2y^2 + 7x - 5y + c = 0 \] প্রথমে, এই সমীকরণটিকে সাধারণ বৃত্তের সমীকরণে রূপান্তর করি। এর জন্য, সকল পদকে 2 দ্বারা ভাগ করি: \[ x^2 + y^2 + \frac{7}{2}x - \frac{5}{2}y + \frac{c}{2} = 0 \] এখন, আমরা বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করব। ### ধাপ 1: সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর প্রথম, x ও y এর জন্য সম্পূর্ণ বর্গ গঠন করি: \[ x^2 + \frac{7}{2}x + y^2 - \frac{5}{2}y = - \frac{c}{2} \] **x এর জন্য:** \[ x^2 + \frac{7}{2}x = \left( x^2 + \frac{7}{2}x + \left(\frac{7}{4}\right)^2 \right) - \left(\frac{7}{4}\right)^2 = \left( x + \frac{7}{4} \right)^2 - \frac{49}{16} \] **y এর জন্য:** \[ y^2 - \frac{5}{2}y = \left( y^2 - \frac{5}{2}y + \left(\frac{5}{4}\right)^2 \right) - \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \left( y - \frac{5}{4} \right)^2 - \frac{25}{16} \] **সংক্ষেপে:** \[ \left( x + \frac{7}{4} \right)^2 - \frac{49}{16} + \left( y - \frac{5}{4} \right)^2 - \frac{25}{16} = - \frac{c}{2} \] এখানে, উভয় বর্গের যোগফল: \[ \left( x + \frac{7}{4} \right)^2 + \left( y - \frac{5}{4} \right)^2 = - \frac{c}{2} + \frac{49}{16} + \frac{25}{16} \] \[ \left( x + \frac{7}{4} \right)^2 + \left( y - \frac{5}{4} \right)^2 = - \frac{c}{2} + \frac{74}{16} \] \[ \left( x + \frac{7}{4} \right)^2 + \left( y - \frac{5}{4} \right)^2 = - \frac{c}{2} + \frac{37}{8} \] ### ধাপ 2: বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ বৃত্তের কেন্দ্র: \[ \left( -\frac{7}{4}, \frac{5}{4} \right) \] বৃত্তের রেডিয়াসের স্কোয়ার: \[ r^2 = - \frac{c}{2} + \frac{37}{8} \] ### ধাপ 3: x-অক্ষকে স্পর্শ করে যেহেতু বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে, এর অর্থ হলো, বৃত্তের y-সংকেতের মানে কেন্দ্রের y-অক্ষ থেকে দূরত্বটি ব্যাসার্ধের সমান। c-প্রান্তের জন্য, কেন্দ্রের y-অক্ষের দূরত্ব: \[ d = \left| \text{কেন্দ্রের y-সিন্ধান্ত} \right| = \left| \frac{5}{4} \right| = \frac{5}{4} \] এবং, যেহেতু বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে, এর ব্যাসার্ধ: \[ r = \frac{5}{4} \] অর্থাৎ: \[ r^2 = \left( \frac{5}{4} \right)^2 = \frac{25}{16} \] ### ধাপ 4: সমীকরণ সমাধান আমাদের কাছে: \[ r^2 = - \frac{c}{2} + \frac{37}{8} = \frac{25}{16} \] এখন, সমীকরণ থেকে \( c \) নির্ণয় করি: \[ - \frac{c}{2} = \frac{25}{16} - \frac{37}{8} \] প্রথমে, সব ভগ্নাংশের জন্য সমন্বিত মানে রূপান্তর করি: \[ \frac{37}{8} = \frac{74}{16} \] অতএব: \[ - \frac{c}{2} = \frac{25}{16} - \frac{74}{16} = - \frac{49}{16} \] দুটি طرف 2 দিয়ে গুণ করি: \[ - c = - \frac{49}{8} \] অতএব: \[ c = \frac{49}{8} \] ### **উত্তর:** \[ \boxed{\frac{49}{8}} \]