Another Explanation (5):
সমাধান
আমরা কণিকের সমীকরণ:
\[
y^2 - 2x^2 = 2
\]
ধাপ ১: এটি একটি হাইপারবোলা
সাধারণ হাইপারবোলার সমীকরণ:
\[
\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1
\]
আমাদের সমীকরণে:
\[
y^2 - 2x^2 = 2
\]
অর্থাৎ,
\[
\frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{1} = 1
\]
অতএব:
\[
a^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{2}
\]
\[
b^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad b = 1
\]
ধাপ ২: নিয়ামকের সমীকরণ
নিয়ামকের সমীকরণ:
\[
\sqrt{3} y = \pm 2
\]
অর্থাৎ:
\[
y = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}
\]
এটি কণিকের নিয়ামক রেখা। এটি হাইপারবোলার টানজেন্টের সমীকরণ বা নিয়ামকের অবস্থান নির্দেশ করে।
ধাপ ৩: উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য (Transverse axis length):
\[
2a = 2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
\]
অর্থাৎ, এটি \( \approx 2.828 \) একক। দাখিল অনুযায়ী, এটি বলা হয়েছে:
"উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = √3 একক"
যেহেতু \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), তাই এটি ভুল। কিন্তু যদি প্রশ্নের বক্তব্যে বোঝানো হয় উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = \( 2a \), তাহলে এটি \( 2\sqrt{2} \), যা আরো বেশি নয়।
তবে, প্রশ্নের বিকল্পে বলা হয়েছে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = \( \sqrt{3} \), যা অসম্ভব। তাই এই বিকল্পটি ভুল।
ধাপ ৪: অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য
অন্যদিকে, অপ্রতিষ্ঠ অক্ষের দৈর্ঘ্য:
\[
2b = 2 \times 1 = 2
\]
অর্থাৎ, এটি সঠিক।
উপসংহার
- নিয়ামকের সমীকরণ (i): **সঠিক**। কারণ, এটি কণিকার নিয়ামক রেখার সমীকরণ।
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য (ii): **ভুল**। কারণ, এটি \( 2a = 2\sqrt{2} \) বা প্রায় ২.৮২, যা \( \sqrt{3} \) নয়।
- অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য (iii): **সঠিক**। কারণ, এটি 2 একক।
অতএব, সঠিক উত্তর: **"i ও iii"**
উত্তর: i ও iii
