\( x^2+4x+2y^2+6y+1=0 \) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত হলে এর উপকেন্দ্রদ্বের মধ্যবর্তী দুরত্ব কত?

Another Explanation (5): প্রথমে দাওয়াকরণটি বিশ্লেষণ করে দেখি এটি কি একটি উপবৃত্ত বা অন্য কোন আকারের সমীকরণ: সমীকরণ: \[ x^2 + 4x + 2y^2 + 6y + 1 = 0 \] প্রথমে \(x\) ও \(y\) এর জন্য সম্পূর্ণ বর্গ রূপে রূপান্তর করি। **ধাপ ১: \(x\) এর জন্য:** \[ x^2 + 4x = (x^2 + 4x + 4) - 4 = (x + 2)^2 - 4 \] **ধাপ ২: \(y\) এর জন্য:** \[ 2y^2 + 6y = 2(y^2 + 3y) \] এখানে, \(y^2 + 3y\) এর জন্য সম্পূর্ণ বর্গ রূপ: \[ y^2 + 3y = (y^2 + 3y + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} = \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} \] অতএব: \[ 2(y^2 + 3y) = 2 \left[\left(y + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}\right] = 2 \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} \] **সমীকরণে স্থানান্তর:** \[ (x + 2)^2 - 4 + 2 \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} + 1 = 0 \] সমষ্টি করি: \[ (x + 2)^2 + 2 \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 = 4 + \frac{9}{2} - 1 \] \[ (x + 2)^2 + 2 \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 = \left(4 - 1\right) + \frac{9}{2} = 3 + \frac{9}{2} = \frac{6}{2} + \frac{9}{2} = \frac{15}{2} \] অতএব, সমীকরণটি হয়: \[ (x + 2)^2 + 2 \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{15}{2} \] উপবৃত্তের সাধারণ রূপ: \[ \frac{(x + 2)^2}{\frac{15}{2}} + \frac{\left(y + \frac{3}{2}\right)^2}{\frac{15}{4}} = 1 \] এখানে, \[ a^2 = \frac{15}{2}, \quad b^2 = \frac{15}{4} \] উপবৃত্তের কেন্দ্র: \[ h = -2, \quad k = -\frac{3}{2} \] উপকেন্দ্রের জন্য, উপবৃত্তের ধনুকের কেন্দ্র (foci) নির্ণয় করতে হবে। **উপবৃত্তের ধনুকের দূরত্ব \(c\):** \[ c^2 = a^2 - b^2 \] \[ c^2 = \frac{15}{2} - \frac{15}{4} = \frac{30}{4} - \frac{15}{4} = \frac{15}{4} \] অতএব: \[ c = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2} \] ধনুকের কেন্দ্র: \[ \text{Center} = (h, k) = \left(-2, -\frac{3}{2}\right) \] উপকেন্দ্রের অবস্থান: \[ \text{Foci}: \quad \left(h \pm c, k\right) \quad \text{(x-অক্ষে)} \quad \text{বা} \quad \left(h, k \pm c\right) \quad \text{(y-অক্ষে)} \] এখানে, কারণ \(a^2 > b^2\), ধনুকের ধনুকের দূরত্ব \(c\) x-অক্ষে। অতএব, ধনুকের অবস্থান: \[ \left(-2 \pm \frac{\sqrt{15}}{2}, -\frac{3}{2}\right) \] দুটি ধনুকের মধ্যবর্তী দূরত্ব: \[ \text{দূরত্ব} = 2c = 2 \times \frac{\sqrt{15}}{2} = \sqrt{15} \] **উপকেন্দ্রদ্বের মধ্যবর্তী দুরত্ব:** \(\boxed{\sqrt{15}}\) **উত্তর:** \[ \boxed{\sqrt{15}} \]