(1 + x)44এর বিস্তৃতিতে ২১ তম ও ২২ তম পদ সমান হলে x এর মান-
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \((1 + x)^{44}\) এর বিস্তৃতি থেকে ২১তম ও ২২তম পদ সমান হলে \(x\) এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
প্রথমে, বিয়োজনের সূত্রে, একটি পূর্ণসংখ্যার বিস্তৃতি:
\[
(1 + x)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k}
\]
এখানে, \(n = 44\)।
প্রতিটি পদ:
\[
\text{k} \ম \text{পদ} = \binom{44}{k} x^{k}
\]
বিশেষ করে, ২১তম ও ২২তম পদ:
\[
\text{পদ ২১} = \binom{44}{20} x^{20}
\]
\[
\text{পদ ২২} = \binom{44}{21} x^{21}
\]
শর্ত অনুযায়ী:
\[
\binom{44}{20} x^{20} = \binom{44}{21} x^{21}
\]
এখানে, \(\binom{44}{21} = \binom{44}{20}\) এর পরিপূরক, কারণ:
\[
\binom{44}{20} = \binom{44}{24}
\]
তবে, মূলত, এই সমীকরণ থেকে:
\[
\binom{44}{20} x^{20} = \binom{44}{21} x^{21}
\]
অর্থাৎ:
\[
\binom{44}{20} = \binom{44}{21} x
\]
অথবা:
\[
x = \frac{\binom{44}{20}}{\binom{44}{21}}
\]
এখন, \(\binom{44}{21}\):
\[
\binom{44}{21} = \frac{44!}{21! \times 23!}
\]
এবং \(\binom{44}{20}\):
\[
\binom{44}{20} = \frac{44!}{20! \times 24!}
\]
সুতরাং:
\[
x = \frac{\frac{44!}{20! \times 24!}}{\frac{44!}{21! \times 23!}} = \frac{21! \times 23!}{20! \times 24!}
\]
অতএব:
\[
x = \frac{21!}{20!} \times \frac{23!}{24!}
\]
যোগাযোগ করি:
\[
\frac{21!}{20!} = 21
\]
এবং
\[
\frac{23!}{24!} = \frac{1}{24}
\]
অতএব:
\[
x = 21 \times \frac{1}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}
\]
উত্তর:
\[
\boxed{\frac{7}{8}}
\]
