x− অক্ষ, y− অক্ষ, y=ln 5 এবং y= lnx বক্ররেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের। ক্ষেত্রফল হবে-

দেওয়া আছে, x− অক্ষ, y− অক্ষ, y=ln 5 এবং y= lnx বক্ররেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে y = lnx রেখাটি x-অক্ষকে কোথায় ছেদ করে তা বের করি।

y = lnx = 0

অতএব, x = 1

আবার, y = lnx এবং y = ln5 এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি।

lnx = ln5

অতএব, x = 5

সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = ∫₁⁵ (ln5 - lnx) dx 📏

= ∫₁⁵ ln5 dx - ∫₁⁵ lnx dx

= ln5 [x]₁⁵ - [xlnx - x]₁⁵ ➗

= ln5 (5-1) - [(5ln5 - 5) - (1ln1 - 1)]

= 4ln5 - [5ln5 - 5 - 0 + 1]

= 4ln5 - 5ln5 + 4 ➕

= 4 - ln5

এখন, ∫ lnx dx = xlnx - x এটা কিভাবে আসে তা দেখি :

∫ lnx dx = ∫ ln(x) * 1 dx

= lnx ∫ 1 dx - ∫ [d/dx(lnx) * ∫ 1 dx] dx [Integration by parts]

= xlnx - ∫ [1/x * x] dx

= xlnx - ∫ 1 dx

= xlnx - x + C

ক্ষেত্রফল = 4 - ln5 বর্গ একক। 🤔

যদি উত্তর 4 বর্গ একক হয়, তবে প্রশ্ন অথবা উত্তরে কোথাও ভুল আছে। 🤔 প্রদত্ত তথ্যের উপর ভিত্তি করে এটাই সঠিক সমাধান। 👍