P মানের দুইটি সমান বলের লব্ধি P হলে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: P মানের দুইটি সমান বলের লব্ধি P হলে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

উত্তর: 120°

সমাধান:

ধরা যাক, দুইটি সমান বলের পরিমাণ হল \( P \)। এই দুইটি বলের মধ্যে লব্ধি বলের মান হল \( P \)।

দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণ ধরা যাক \( \theta \)।

তাহলে, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করতে, আমরা বলের যোগফল সূত্র ব্যবহার করব।

দুটি সমান বলের জন্য লব্ধি বলের সূত্র:

\[ R = \sqrt{P^2 + P^2 + 2 \times P \times P \times \cos \theta} \] \[ R = \sqrt{2P^2 + 2P^2 \cos \theta} \] \[ R = \sqrt{2P^2(1 + \cos \theta)} \]

যেহেতু লব্ধি বলের মান \( R \) হলো \( P \), তাই:

\[ P = \sqrt{2P^2(1 + \cos \theta)} \]

দুটি পক্ষের বর্গমূল নেওয়া যায়:

\[ P^2 = 2P^2 (1 + \cos \theta) \]

উভয় পক্ষ থেকে \( P^2 \) ভাগ করলে, পাই:

\[ 1 = 2 (1 + \cos \theta) \] \[ \Rightarrow 1 = 2 + 2 \cos \theta \] \[ \Rightarrow 2 \cos \theta = 1 - 2 = -1 \] \[ \Rightarrow \cos \theta = -\frac{1}{2} \]

এখন, কোণের মান নির্ণয় করি:

\[ \theta = \cos^{-1} \left( -\frac{1}{2} \right) = 120^\circ \]