f(x) = x² + 1 হলে—

1. (1, 2) বিন্দুতে অভিলম্বের ঢাল = -1/2
2.  int_0^1(2x)/f(x)dx=ln 2 
3. ফাংশনটির চরম বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 1)

নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান:

প্রদত্ত ফাংশন:

\(f(x) = x^2 + 1\)

i. বিন্দু (1, 2) তে অভিলম্বের ঢাল = \(-\frac{1}{2}\)

অভিলম্বের ঢাল (tangent slope) হল ফাংশনের ডেরিভেটিভ at that point।

প্রথমে, ডেরিভেটিভ খুঁজে নিই:

f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x

তাহলে, x = 1 এ:

f'(1) = 2 \times 1 = 2

অতএব, বিন্দু (1, 2) তে অভিলম্বের ঢাল = 2।

তাই, এটি \(-\frac{1}{2}\) নয়। অর্থাৎ, বিবৃতিটি ভুল।

ii. \(\int_0^1 \frac{2x}{f(x)} dx = \ln 2\)

প্রথম, \(\frac{2x}{f(x)}\) এর মান খুঁজে নিই:

\frac{2x}{x^2 + 1}

মূল্যায়ন করি:

\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1} dx

এই ইন্টিগ্রালটি সাবস্টিটিউশনের মাধ্যমে সমাধান করা যায়।

উপসর্গ: u = x^2 + 1, তাহলে, du/dx = 2x, অর্থাৎ, du = 2x dx

সুতরাং, যখন x = 0, u = 1; এবং যখন x = 1, u = 2।

ইন্টিগ্রালটি হয়:
\int_{u=1}^{2} \frac{1}{u} du

= \left[ \ln |u| \right]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2

অতএব, এই বিবৃতি সঠিক।

iii. ফাংশনটির চরম বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 1)

চরম বিন্দু হল যেখানে ডেরিভেটিভ 0 হয় বা অসম্পূর্ণ হয়।

f'(x) = 2x

এখানে, f'(x) = 0 when x = 0।

ফাংশনের মান যখন x = 0:

f(0) = 0^2 + 1 = 1

অর্থাৎ, চরম বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 1)।

এটি সত্য।

উপসংহার:

প্রথম বিবৃতি ভুল, অন্য দুইটি সঠিক।

অতএব, সঠিক উত্তর: ii ও iii