x²-y² = 7 বক্ররেখার (4,-3) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি ?

প্রশ্নের সমাধান:

প্রদত্ত বক্ররেখা: \( x^2 - y^2 = 7 \)

অর্থাৎ, এটি একটি হাইপারবোলা।

ধাপ ১: স্পর্শকের সমীকরণ সাধারণ রূপে নির্ণয় করুন।

ধরি স্পর্শকের সমীকরণ: \( y = mx + c \)

ধাপ ২: বক্ররেখার সমীকরণে স্পর্শকের সমীকরণ বসান এবং সমাধান করুন।

প্রথমে, \( y = mx + c \) থেকে, \( y^2 = (mx + c)^2 \)

বক্ররেখার সমীকরণে বসান:

\( x^2 - (mx + c)^2 = 7 \)

এখন, এই সমীকরণটি সমাধান করে, যাতে স্পর্শক সরাসরি বক্ররেখার টেনসর সমাধানের জন্য ব্যবহার করা যায়।

ধাপ ৩: স্পর্শকের জন্য শর্ত: ডেরিভেটিভের সমানতা

প্রথমত, বক্ররেখার ডেরিভেটিভ নির্ণয় করি:

\( \frac{d}{dx} (x^2 - y^2) = \frac{d}{dx} (7) \)

যেহেতু \( y \) এর উপর নির্ভরশীল, চেইন রুল প্রয়োগ করি:

\( 2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \)

\( 2x = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} \)

ধাপ ৪: স্পর্শকের ঢাল (m) সমান করতে হবেঃ

প্রতিটি বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, অর্থাৎ, \( m = \frac{dy}{dx} \)

\( m = \frac{x}{y} \)

ধাপ ৫: বিন্দু (4, -3) এ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করুন।

প্রথমে, ঢাল নির্ণয় করুন:

\( m = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3} \)

ধাপ ৬: স্পর্শকের সমীকরণ: \( y - y_1 = m(x - x_1) \)

প্রতিষ্ঠান বিন্দু: \( (x_1, y_1) = (4, -3) \)

\( y + 3 = -\frac{4}{3}(x - 4) \)

\( y + 3 = -\frac{4}{3}x + \frac{16}{3} \)

\( 3y + 9 = -4x + 16 \)

\( 4x + 3y = 7 \)

উত্তর:

অতএব, স্পর্শকের সমীকরণ হলো:

\( 4x + 3y = 7 \)