কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল  1/(2-sqrt3) হলে, অপর মূলটি কত?

প্রশ্নটি হলো: যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল হয় \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\), তবে অপর মূলটি কত?

ধরা যাক সমীকরণের মূলগুলো হলো \( \alpha \) এবং \( \beta \)। যেহেতু একটি মূল \( \alpha = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \)।

প্রথমে, মূলটি সহজ করে লিখি:

\[
\alpha = \frac{1}{2-\sqrt{3}}
\]

মুলটিকে রৈখিক রূপে রূপান্তর করি:

\[
\alpha = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2)^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}
\]

অতএব, মূলটি হলো \( \alpha = 2 + \sqrt{3} \)।

যেহেতু দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সমষ্টি হল সমীকরণের ক' এর জন্য -b/a, এবং মূলের গুণফল হল c/a।

সাধারন দ্বিঘাত সমীকরণ: \( ax^2 + bx + c = 0 \)

এখানে, মূলগুলো হলো \( \alpha \) এবং \( \beta \)।

প্রথম মূল: \( \alpha = 2 + \sqrt{3} \)

অপর মূল: \( \beta = ? \)

প্রাকৃতিকভাবে, মূলদ্বয় এর সমষ্টি হবে:

\[
\alpha + \beta = -\frac{b}{a}
\]

এবং গুণফল হবে:

\[
\alpha \times \beta = \frac{c}{a}
\]

আমরা জানি, মূলটি \( \alpha = 2 + \sqrt{3} \)।

এখন, মূলের গুণফল ও সমষ্টি জানার জন্য, ধরা যাক সমীকরণটি হলো:

\[
x^2 - (\alpha + \beta) x + \alpha \beta = 0
\]

অতএব, মূলটি \( \alpha = 2 + \sqrt{3} \)।

মূলের গুণফল হলো:

\[
\alpha \times \beta = 1
\]
(কারণ দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য মূলের গুণফল সাধারণত 1 হয় যদি নির্দিষ্ট না হয়।)

অথবা, সরাসরি গুণফল নির্ণয় করতে পারি:

মূলের গুণফল: \(\alpha \times \beta\)

আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের মূলগুলো হল \(\alpha\) এবং অপর মূল \(\beta\)।

এখানে, সাধারণত মূলগুলো গুণফল ও সমষ্টি নির্ণয় করা হয়।

কিন্তু, এখানে মূলটি \( \frac{1}{2-\sqrt{3}} \) যা আমরা প্রথমে সরলীকরণ করেছিলাম \( 2 + \sqrt{3} \)।

অতএব, মূলটি \( \alpha = 2 + \sqrt{3} \)।

সমীকরণের মূলগুলো হল: \( \alpha \) এবং অপর মূল \( \beta \) যা:

\[
\beta = \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}
\]

এখন, এই গুণফলটি সহজ করি:

\[
\beta = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2)^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}
\]

অতএব, অপর মূল হচ্ছে \( \boxed{2 - \sqrt{3}} \)।