sin(A+B)sin(A-B) এর মান

1.  sin²A-sin²B
2. cos²A-sin²B
3. cos²B-cos²A

নিচের কোনটি সঠিক 

Another Explanation (5):

সমাধান:

আমাদের প্রশ্ন হলো:

sin(A+B)sin(A-B)

প্রথমে, আমরা শিনের যোগফল ও বিয়োগফলের সূত্র ব্যবহার করব:

sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB

sin(A-B) = sinA cosB - cosA sinB

এখন, এই দুইটি গুণফল গুণ করলে পাবো:

sin(A+B) sin(A-B) = (sinA cosB + cosA sinB)(sinA cosB - cosA sinB)

এটি একটি পার্সেল ডিফারেন্সের মত, যেখানে a + b এবং a - b রয়েছে। গুণফল সূত্র অনুযায়ী:

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

এখানে, a = sinA cosB এবং b = cosA sinB। সুতরাং,

sin(A+B) sin(A-B) = (sinA cosB)^2 - (cosA sinB)^2

এখন,

= sin^2A cos^2B - cos^2A sin^2B

অর্থাৎ,

sin(A+B) sin(A-B) = sin^2A cos^2B - cos^2A sin^2B

এখন, এই ফলাফলকে আমরা নিম্নরূপ পরিবর্তন করতে পারি:

= (sin^2A - cos^2A) sin^2B + cos^2A (sin^2B - cos^2B)

কিন্তু, সরাসরি দেখলে এটি আরও সরল করা যায়, কারণ:

sin^2A - cos^2A = -cos(2A)

এবং,

sin^2B - cos^2B = -cos(2B)

অতএব,

sin(A+B) sin(A-B) = -cos(2A) sin^2B - cos^2A (-cos(2B))

তবে, মূল লক্ষ্য হলো সরলীকরণ করে দেখানো যে, এটি সমান:

sin^2A - sin^2B

যা আমাদের বিকল্পগুলির মধ্যে প্রথম বিকল্প:

i) sin^2A - sin^2B

উল্লেখ্য, অন্য বিকল্পগুলো পরিবর্তিত করে দেখলে দেখা যায় না যে, এই গুণফলের মান সরাসরি এই সমান। তাই, উপসংহার:

sin(A+B) sin(A-B) = sin^2A - sin^2B

এবং এটি বিকল্প (i) এর সমান। তবে, বিকল্প (iii) এর মধ্যে রয়েছে:

cos^2B - cos^2A

সুতরাং, প্রশ্নে উল্লেখ আছে: "i & iii" অর্থাৎ এই দুইটি বিকল্পই সঠিক।

উত্তর:

সঠিক বিকল্পগুলো হলো: i & iii