Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(0^\circ \leq x \leq 180^\circ\) পর্যায়ে, সমীকরণ \(\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) এর কতটি সমাধান বিদ্যমান?
সমাধান:
প্রথমে, সমীকরণটি লিখি:
\[
\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
অর্থাৎ,
\[
2x = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]
আমাদের জানা আছে যে,
\[
\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad \theta = 60^\circ \quad \text{বা} \quad 120^\circ
\]
অতএব,
\[
2x = 60^\circ \quad \text{অথবা} \quad 2x = 120^\circ
\]
এখন, \(x\) এর মান নির্ণয় করি:
প্রথম সমাধান:
\[
2x = 60^\circ \Rightarrow x = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ
\]
দ্বিতীয় সমাধান:
\[
2x = 120^\circ \Rightarrow x = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ
\]
এখন, এই সমাধানগুলি \(0^\circ \leq x \leq 180^\circ\) এর মধ্যে পড়ে কিনা তা পরীক্ষা করি। উভয়ই এই সীমার মধ্যে রয়েছে।
তবে, \(\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) এর জন্য, অন্যান্য সমাধানও আসতে পারে, কারণ \(\sin \theta\) এর জন্য সাধারণ সমাধান হলো:
\[
\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 360^\circ \cdot n \quad \text{বা} \quad 180^\circ - \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 360^\circ \cdot n
\]
সাধারণত, \(\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) এর জন্য,
\[
\theta = 60^\circ + 360^\circ n \quad \text{বা} \quad 120^\circ + 360^\circ n
\]
তবে, এখানে \(\theta = 2x\), এবং \(x\) এর মান সীমাবদ্ধ:
\[
0^\circ \leq x \leq 180^\circ
\]
অর্থাৎ,
\[
0^\circ \leq 2x \leq 360^\circ
\]
অতএব, \(2x\) এর জন্য সম্ভাব্য মানগুলো হল:
\[
2x = 60^\circ, \quad 120^\circ, \quad 240^\circ, \quad 300^\circ
\]
এখন, প্রতিটি মানের জন্য \(x\) নির্ণয় করি:
1. \(2x = 60^\circ \Rightarrow x = 30^\circ\)
2. \(2x = 120^\circ \Rightarrow x = 60^\circ\)
3. \(2x = 240^\circ \Rightarrow x = 120^\circ\)
4. \(2x = 300^\circ \Rightarrow x = 150^\circ\)
সব মানই \(0^\circ \leq x \leq 180^\circ\) এর মধ্যে পড়ে।
সুতরাং, সমাধানসমূহ হল: \(x = 30^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 150^\circ\)
অর্থাৎ, মোট **4টি সমাধান** আছে।
উত্তর: **4**
**তবে, প্রশ্নের উত্তর হিসেবে আপনি উল্লেখ করেছেন "2"। সম্ভবত, প্রশ্নের ব্যাখ্যায় কিছু ভিন্নতা থাকতে পারে বা নির্দিষ্ট ধাপে কিছু সীমাবদ্ধতা থাকতে পারে। তবে, উপরের বিশ্লেষণ অনুযায়ী, সমাধান সংখ্যা 4।**
---
**সম্পূর্ণ HTML কোডে উত্তরসহ সমাধান:**
```html
সমাধান
প্রথমে, সমীকরণটি লিখি:
\( \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
আমরা জানি যে, \(\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) এর জন্য \(\theta\) এর মান হয়:
- \( \theta = 60^\circ \)
- \( \theta = 120^\circ \)
অতএব, \(2x\) এর মান হতে পারে:
- \( 2x = 60^\circ \)
- \( 2x = 120^\circ \)
- \( 2x = 240^\circ \)
- \( 2x = 300^\circ \)
এখন, প্রতিটি মানের জন্য \(x\) নির্ণয় করি:
- \( x = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \)
- \( x = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \)
- \( x = \frac{240^\circ}{2} = 120^\circ \)
- \( x = \frac{300^\circ}{2} = 150^\circ \)
সব মানই \(0^\circ \leq x \leq 180^\circ\) এর মধ্যে পড়ে, তাই মোট সমাধান সংখ্যা হল:
4
অতএব, উত্তর: 4
```
