সরল দোলগতি সম্পন্ন একটি কণার সরণ x = √3 sin2πt মিটার।

1m দূরে কণার গতিশক্তি ও বিভবশক্তির অনুপাত কত?

Explanation:

Another Explanation (3):

সরল দোলগতি সম্পন্ন একটি কণার সরণ x = √3 sin(2πt) মিটার।

1m দূরে কণার গতিশক্তি ও বিভবশক্তির অনুপাত কত?

1. 1:2 (Incorrect)
2. 2:1 (Correct)
3. 1 : √3 (Incorrect)
4. √3 : 1 (Incorrect)

সরল দোলগতি (Simple Harmonic Motion - SHM)

সরল দোলগতিতে, কণার সরণ সময়ের সাথে সাইন বা কোসাইন ফাংশন অনুযায়ী পরিবর্তিত হয়। প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

x = √3 sin(2πt)

এখানে,

• x = কণার সরণ (মিটার)
• t = সময় (সেকেন্ড)

বিস্তার (Amplitude - A)

সরল দোলগতির সমীকরণে, সাইন ফাংশনের সহগ বিস্তার নির্দেশ করে। সুতরাং, এই কণার বিস্তার হলো:

A = √3 মিটার

গতিশক্তি (Kinetic Energy - KE)

সরল দোলগতি সম্পন্ন কণার গতিশক্তি নির্ণয়ের সূত্র হলো:

KE = ½ k (A² - x²)

যেখানে,

• k = বল ধ্রুবক (force constant)
• A = বিস্তার
• x = সরণ

বিভবশক্তি (Potential Energy - PE)

সরল দোলগতি সম্পন্ন কণার বিভবশক্তি নির্ণয়ের সূত্র হলো:

PE = ½ k x²

যেখানে,

• k = বল ধ্রুবক
• x = সরণ

গতিশক্তি ও বিভবশক্তির অনুপাত

প্রশ্নানুসারে, সরণ x = 1 মিটার হলে গতিশক্তি ও বিভবশক্তির অনুপাত নির্ণয় করতে হবে।

KE / PE = [½ k (A² - x²)] / [½ k x²]

উভয় ক্ষেত্রে ½ k বিদ্যমান থাকায়, এটি অনুপাত থেকে বাদ দেওয়া যায়:

KE / PE = (A² - x²) / x²

মানের প্রতিস্থাপন

এখন আমরা A এবং x এর মান প্রতিস্থাপন করি:

KE / PE = ((√3)² - 1²) / 1²

KE / PE = (3 - 1) / 1

KE / PE = 2 / 1

ফলাফল

সুতরাং, 1 মিটার দূরে কণার গতিশক্তি ও বিভবশক্তির অনুপাত হলো 2:1।

বিকল্পগুলোর বিশ্লেষণ

এখন আমরা বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করে দেখব কোনটি সঠিক:

1. 1:2 (Incorrect)
2. 2:1 (Correct)
3. 1 : √3 (Incorrect)
4. √3 : 1 (Incorrect)

সিদ্ধান্ত

উপরের হিসাব থেকে দেখা যাচ্ছে যে, 1 মিটার দূরে কণার গতিশক্তি ও বিভবশক্তির অনুপাত 2:1।

টেবিলের মাধ্যমে উপস্থাপন

বিষয়টি আরও সহজে বোঝার জন্য একটি টেবিলের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হলো:

পরামিতি	প্রতীক	মান
সরণের সমীকরণ	x	√3 sin(2πt)
বিস্তার	A	√3 মিটার
সরণ	x	1 মিটার
গতিশক্তি	KE	½ k (A² - x²)
বিভবশক্তি	PE	½ k x²
গতিশক্তি ও বিভবশক্তির অনুপাত	KE / PE	(A² - x²) / x²

গণনা

KE / PE = (A² - x²) / x²

KE / PE = ((√3)² - 1²) / 1²

KE / PE = (3 - 1) / 1

KE / PE = 2 / 1

সঠিক উত্তর: B. 2:1

Another Explanation (5): ```html

সরল দোলগতি সম্পন্ন কণার গতিশক্তি ও বিভবশক্তির অনুপাত নির্ণয়

দেওয়া আছে, সরল দোলগতির সমীকরণ: \(x = \sqrt{3} \sin(2\pi t)\) মিটার। প্রশ্নে \(x = 1\) মিটারে গতিশক্তি ও বিভবশক্তির অনুপাত বের করতে বলা হয়েছে। আমরা জানি, সরল দোলগতির ক্ষেত্রে:

• মোট শক্তি (Total Energy), \(E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2\)
• বিভব শক্তি (Potential Energy), \(U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2\)
• গতিশক্তি (Kinetic Energy), \(K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)\)

এখানে,

• \(m\) = কণার ভর
• \(\omega\) = কৌণিক কম্পাঙ্ক
• \(A\) = বিস্তার
• \(x\) = সরণ

সমীকরণ \(x = \sqrt{3} \sin(2\pi t)\) এর সাথে তুলনা করে পাই,

• বিস্তার, \(A = \sqrt{3}\) মিটার
• কৌণিক কম্পাঙ্ক, \(\omega = 2\pi\) রেডিয়ান/সেকেন্ড

এখন, \(x = 1\) মিটারে গতিশক্তি \(K\) এবং বিভবশক্তি \(U\) এর মান বের করি: বিভব শক্তি, \(U = \frac{1}{2} m (2\pi)^2 (1)^2 = \frac{1}{2} m (4\pi^2) = 2m\pi^2\) গতিশক্তি, \(K = \frac{1}{2} m (2\pi)^2 ((\sqrt{3})^2 - (1)^2) = \frac{1}{2} m (4\pi^2) (3 - 1) = \frac{1}{2} m (4\pi^2) (2) = 4m\pi^2\) সুতরাং, গতিশক্তি ও বিভবশক্তির অনুপাত: \(\frac{K}{U} = \frac{4m\pi^2}{2m\pi^2} = \frac{2}{1}\) অতএব, 1 মিটার দূরে কণার গতিশক্তি ও বিভবশক্তির অনুপাত 2:1 🥳। উত্তর: 02:01:00 ```