Another Explanation (5): সমাধান:
প্রথমে, দুইটি রেখার সমীকরণ দেওয়া হয়েছে:
1. \( x - 3y + 5 = 0 \)
2. \( 2x - 6y + 9 = 0 \)
ধাপ 1: রেখাগুলির ঢাল নির্ণয়
রেখার সমীকরণ সাধারণ রূপ: \( Ax + By + C = 0 \)
ঢাল = \(- \frac{A}{B}\)
- প্রথম রেখার সমীকরণ: \( x - 3y + 5 = 0 \)
ঢাল: \(- \frac{1}{-3} = \frac{1}{3} \)
- দ্বিতীয় রেখার সমীকরণ: \( 2x - 6y + 9 = 0 \)
ঢাল: \(- \frac{2}{-6} = \frac{1}{3} \)
অতএব, **উভয় রেখার ঢাল সমান** \(\frac{1}{3}\)।
**উপসংহার:**
উভয় রেখার ঢাল সমান, অর্থাৎ, এই রেখাদ্বয় সমান্তরাল।
এখানে, উল্লিখিত বিকল্প:
**(i) "রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল"** — সঠিক।
**(ii) "দ্বিতীয় রেখার ঢাল = 1/3"** — সঠিক।
ধাপ 2: এই রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়
প্রথমে, দুই রেখার সমীকরণ:
- \( R_1: x - 3y + 5 = 0 \)
- \( R_2: 2x - 6y + 9 = 0 \)
নোট করুন: দ্বিতীয় রেখাটি প্রথম রেখার দ্বিগুণ (নির্দেশিত) নয়, কারণ:
\( R_2 \) এর সমীকরণ: \( 2x - 6y + 9 = 0 \)
অর্থাৎ, যদি প্রথম রেখাটির সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করি:
\( 2x - 6y + 10 = 0 \)
তাই, দেখা যাচ্ছে, \( R_2 \) প্রথম রেখার সমীকরণের সাথে সমান্তরাল কিন্তু ভিন্ন।
এবং, এই দুই রেখার মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে।
দূরত্বের সূত্র:
\[
d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
যেখানে,
\( R_1: Ax + By + C_1 = 0 \)
\( R_2: Ax + By + C_2 = 0 \)
অতএব,
\( A = 1 \), \( B = -3 \)
\( C_1 = 5 \)
\( C_2 = 9 \)
দূরত্ব:
\[
d = \frac{|9 - 5|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{4}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}
\]
সুতরাং,
\[
d = \frac{2}{\sqrt{10}}
\]
প্রশ্নে বলা হয়েছে:
"এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব = \( \frac{1}{\sqrt{10}} \)"
অর্থাৎ, সঠিক মান \( \frac{2}{\sqrt{10}} \), যা প্রশ্নে উল্লেখিত মানের দ্বিগুণ।
অতএব, এই বিবরণে,
**উল্লেখ্য যে, প্রশ্নে দেওয়া দূরত্ব মানটি ভুল বা অন্যভাবে বোঝানো হয়েছে।**
তবে, মূল সূত্র অনুযায়ী, দূরত্ব \( \frac{2}{\sqrt{10}} \), যা প্রশ্নে উল্লেখিত \( \frac{1}{\sqrt{10}} \) থেকে দ্বিগুণ।
**সুতরাং,**
- (i) "রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল" — **সঠিক**
- (ii) "দ্বিতীয় রেখার ঢাল = 1/3" — **সঠিক**
- "এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 1/√10" — **মূল্য ভুল বা অপ্রমাণিত** (সঠিক মান হলো \( \frac{2}{\sqrt{10}} \))
তাই, প্রশ্নের উত্তর: **"i ও ii"**
উপসংহার:
উভয় রেখা সমান্তরাল এবং দ্বিতীয় রেখার ঢাল 1/3।
