5 জন বিজ্ঞান ও 3 জন কলা অনুষদের ছাত্র থেকে 4 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যাতে অন্তত একজন বিজ্ঞান ও একজন কলা ছাত্র থাকে। কত বিভিন্ন প্রকারে এই কমিটি গঠন করা যেতে পারে ?

সমাধান:

প্রথমে আমাদের মোট ছাত্রের সংখ্যা:

• বিজ্ঞান অনুষদের ছাত্র: ৫ জন
• কলা অনুষদের ছাত্র: ৩ জন

আমাদের কমিটি গঠন করতে হবে ৪ জনের, যেখানে অন্তত একজন বিজ্ঞান ও একজন কলা ছাত্র থাকবে।

ধাপ ১: মোট সব সম্ভাবনা নির্ণয়

প্রথমে, অবাধে ৪ জনের কমিটি গঠন করতে পারি:

C(৮, 4) =  \(\binom{8}{4}\) = 70

ধাপ ২: কোন বৈশিষ্ট্য না থাকা পরিস্থিতি বাদ দেওয়া

অন্তত একজন বিজ্ঞান ও একজন কলা ছাত্র থাকত না এমন সম্ভাবনা বাদ দিতে হবে। এই পরিস্থিতি হলো:

• কমিটিতে কেউ বিজ্ঞান নয়: কেবল কলা ছাত্র থেকে ৪ জন নির্বাচন (যদিও আছে মাত্র ৩ জন, তাই সম্ভব নয়)
• কমিটিতে কেউ কলা নয়: কেবল বিজ্ঞান ছাত্র থেকে ৪ জন নির্বাচন (সুযোগ নেই কারণ বিজ্ঞান ছাত্র সংখ্যা ৫)

অতএব:

C(3, 4) = 0 (কারণ ৩ জন কলা ছাত্রের মধ্যে ৪ জন নির্বাচন অসম্ভব)
C(5, 4) = \(\binom{5}{4}\) = 5

ধাপ ৩: বৈধ কমিটি নির্ণয়

অন্তত একজন বিজ্ঞান ও একজন কলা ছাত্র থাকত না এমন কমিটি বাদ দিয়ে মোট সম্ভাবনার মধ্যে থেকে বৈধ কমিটি নির্ণয় করি:

সাধারণ সম্ভাবনা = 70
অন্তত একজন বিজ্ঞান না: 0 (কারণ কলা ছাত্রের সংখ্যা কম)
অন্তত একজন কলা না: 5 (বিজ্ঞান ছাড়া কমিটি)
সুতরাং, বৈধ কমিটি = মোট সম্ভাবনা - (অন্তত একজন বিজ্ঞান না বা কলা না)

তবে, এখানে আমরা সরাসরি গণনা করতে চাই, কারণ উপরের গণনায় কিছু ভুল থাকতে পারে। বরং নিম্নলিখিত পদ্ধতি অনুসরণ করি:

প্রতিটি পরিস্থিতি অনুযায়ী গণনা:

1. কমিটি: ১ বিজ্ঞান + ৩ কলা
2. কমিটি: ২ বিজ্ঞান + ২ কলা
3. কমিটি: ৩ বিজ্ঞান + ১ কলা

ধাপ ৪: এই প্রতিটি পরিস্থিতির সম্ভাবনা গণনা

1. ১ বিজ্ঞান + ৩ কলা

C(5,1) × C(3,3) = 5 × 1 = 5

2. ২ বিজ্ঞান + ২ কলা

C(5,2) × C(3,2) = 10 × 3 = 30

3. ৩ বিজ্ঞান + ১ কলা

C(5,3) × C(3,1) = 10 × 3 = 30

অন্তর্গত সব সম্ভাবনার যোগফল:

5 + 30 + 30 = 65

অতএব, মোট সম্ভাব্য কমিটির সংখ্যা = 65