এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে—

1. 1+a+b=0
2. ab=1
3. b=a²

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5):

প্রশ্নের বিশ্লেষণ:

প্রদত্ত শর্তাবলী:

1. 1 + a + b = 0
2. ab = 1
3. b = a²

ধাপ ১: প্রথম শর্তে b এর মান নির্ণয়:

\[ 1 + a + b = 0 \Rightarrow b = - (1 + a) \]

ধাপ ২: তৃতীয় শর্তে b এর মান নির্ণয়:

\[ b = a^2 \]

ধাপ ৩: উভয় মান সমান করে সমাধান:

\[ a^2 = - (1 + a) \] \[ a^2 + a + 1 = 0 \]

ধাপ ৪: এই সমীকরণের সমাধান:

\[ a^2 + a + 1 = 0 \] \[ a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 \times 1 \times 1}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} \] \[ a = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2} \]

ধাপ ৫: b এর মান নির্ণয়:

\[ b = a^2 \] উপরের মান দিয়ে \(a\) এর মান: প্রথম মান: \[ a = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} \] \[ b = a^2 = \left(\frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}\right)^2 \] \[ b = \frac{(-1)^2 + 2 \times -1 \times i \sqrt{3} + (i \sqrt{3})^2}{4} = \frac{1 - 2i \sqrt{3} - 3}{4} = \frac{-2 - 2i \sqrt{3}}{4} = \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \] অথবা, দ্বিতীয় মান: \[ a = \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \] \[ b = a^2 = \left(\frac{-1 - i \sqrt{3}}{2}\right)^2 \] \[ b = \frac{1 + 2i \sqrt{3} - 3}{4} = \frac{-2 + 2i \sqrt{3}}{4} = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} \]

ধাপ ৬: যাচাই করি যে, \(ab = 1\)

প্রথম সেটে: \[ a = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} \] \[ b = \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \] \[ ab = \left(\frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{-1 - i \sqrt{3}}{2}\right) = \frac{(-1)^2 - (i \sqrt{3})^2}{4} = \frac{1 - (-3)}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] অর্থাৎ, প্রথম সেটের জন্য, শর্তাবলী পূরণ হয়। দ্বিতীয় সেটেও একইভাবে দেখা যাবে, কারণ যোগফল ও গুণফল একই হবে।

উপসংহার:

উপরের বিশ্লেষণে দেখা যায় যে, শর্তাবলী i, ii, এবং iii সবই পূরণ হচ্ছে।

অতএব, সঠিক উত্তর:

i, ii ও iii