Another Explanation (5): ```html
হাইড্রোজেন পরমাণুর ইলেকট্রনের \(n\)-তম কক্ষপথের ব্যাসার্ধ নির্ণয়
হাইড্রোজেন পরমাণুর ইলেকট্রনের \(n\)-তম কক্ষপথের ব্যাসার্ধ \(r_n\) নির্ণয়ের জন্য আমরা বোরের মডেল ব্যবহার করি।
বোরের মডেল অনুসারে:
-
ইলেকট্রন নিউক্লিয়াসের চারপাশে নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার কক্ষপথে ঘোরে। এই কক্ষপথগুলোতে ইলেকট্রনের কৌণিক ভরবেগ \(L\) কোয়ান্টাইজড, অর্থাৎ \(L = n\hbar\), যেখানে \(n\) হলো প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা (\(n = 1, 2, 3, ...\)) এবং \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\)।
-
ইলেকট্রন যখন একটি নির্দিষ্ট কক্ষপথে ঘোরে, তখন এটি কোনো শক্তি বিকিরণ করে না।
এখন, আমরা ব্যাসার্ধের রাশিমালা নির্ণয় করব:
-
নিউক্লিয়াসের চার্জ \(+e\) এবং ইলেকট্রনের চার্জ \(-e\)। কুলম্বের সূত্রানুসারে, এদের মধ্যে আকর্ষণ বল \(F = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_n^2}\), যেখানে \(\epsilon_0\) হলো শূন্য মাধ্যমের ভেদনযোগ্যতা।
-
এই আকর্ষণ বল ইলেকট্রনকে বৃত্তাকার পথে ঘোরার জন্য প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল সরবরাহ করে। সুতরাং, \(\frac{mv^2}{r_n} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_n^2}\), যেখানে \(m\) হলো ইলেকট্রনের ভর এবং \(v\) হলো ইলেকট্রনের বেগ।
-
কৌণিক ভরবেগের কোয়ান্টাইজেশন শর্ত থেকে আমরা পাই, \(mvr_n = n\hbar = \frac{nh}{2\pi}\)। সুতরাং, \(v = \frac{nh}{2\pi mr_n}\)।
-
এখন, \(v\) এর মান কেন্দ্রমুখী বলের সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\[
\frac{m}{r_n} \left(\frac{nh}{2\pi mr_n}\right)^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_n^2}
\]
-
সরলীকরণ করে আমরা পাই,
\[
\frac{mn^2h^2}{4\pi^2 m^2 r_n^3} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_n^2}
\]
-
এখন, \(r_n\) এর জন্য সমাধান করি:
\[
r_n = \frac{n^2h^2\epsilon_0}{\pi me^2}
\]
সুতরাং, হাইড্রোজেন পরমাণুর ইলেকট্রনের \(n\)-তম কক্ষপথের ব্যাসার্ধ \(r_n = \frac{n^2h^2\epsilon_0}{\pi me^2}\)।
এখানে:
- \(n\) = প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা 🔢
- \(h\) = প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক Planck's constant ⚛️
- \(\epsilon_0\) = শূন্য মাধ্যমের ভেদনযোগ্যতা permittivity of free space 🌌
- \(m\) = ইলেকট্রনের ভর electron mass इलेक्ट्रॉन 🧪
- \(e\) = ইলেকট্রনের চার্জ electron charge ⚡
- \(\pi\) = পাই 🥧
```
