Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণ হলো:
\[
z = \frac{5 - i}{(2 - 3i)(z - 1)}
\]
আমরা লক্ষ্য করছি যে, এই সমীকরণের সমাধান করতে হলে প্রথমে সমীকরণকে সোজা করে লিখতে হবে।
প্রথমে উভয় পাশের সমীকরণকে সমান ধরে নিয়ে সমাধান শুরু করি:
\[
z (2 - 3i)(z - 1) = 5 - i
\]
আমরা লক্ষ্য করছি, এখানে \(z\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। তবে, এই সমীকরণে সবচেয়ে সহজ উপায় হলো গুণন ভগ্নাংশের মান নির্ণয় করা, অর্থাৎ
\[
z = \frac{5 - i}{(2 - 3i)(z - 1)}
\]
তাহলে, যদি আমরা \(z\) এর মান নির্ণয় করি, তবে আমাদের মূল লক্ষ্য হলো \(z\) এর মানের বর্গমূল নির্ণয় করা।
তাহলে প্রথমে \(z\) এর মান নির্ণয় করি।
### ধাপ ১: বিভাজকের মান নির্ণয়
প্রথমে, বিভাজক \((2 - 3i)(z - 1)\) এর মান নির্ণয় করি। তবে, এখানে দেখা যাচ্ছে যে, এই সমীকরণে \(z\) এর মান নির্ণয় করতে হলে, \(z\) এর মান দিয়ে সমীকরণ গঠন করতে হবে।
অতএব, প্রথমে আমরা সমীকরণকে পুনরায় সাজাই:
\[
z \times (2 - 3i)(z - 1) = 5 - i
\]
এখানে, \(z\) এর মান নির্ণয় করতে পারবো না সরাসরি।
### ধাপ ২: সমীকরণ থেকে \(z\) এর মান নির্ণয়
সুতরাং, প্রথমে আমরা সমীকরণকে পুনরায় লিখি:
\[
z = \frac{5 - i}{(2 - 3i)(z - 1)}
\]
এবং, এর জন্য আমাদের দরকার \(z\) এর মান।
অতএব, চলুন এই সমীকরণকে \(z\) এর মানে রূপান্তর করি।
### ধাপ ৩: সমীকরণকে পুনরায় সাজানো
ধরা যাক,
\[
z = x + iy
\]
অথবা সরাসরি সমাধান করতে গেলে, প্রথমে মূল সমীকরণটি গুণন বিভাজন হিসেবে লিখি:
\[
z = \frac{5 - i}{(2 - 3i)(z - 1)}
\]
এখন, মূলত, এই সমীকরণ থেকে \(z\) এর মান নির্ণয় করতে হলে, পরবর্তী ধাপে, আমরা পুরো সমীকরণকে গুণন বিভাজন হিসেবে লিখি:
\[
z \times (2 - 3i)(z - 1) = 5 - i
\]
এবং,
\[
z (2 - 3i)(z - 1) = 5 - i
\]
এখানে, \(z\) এর মান নির্ণয় করতে হলে, আমরা প্রথমে অন্য উপায??ে এগোই।
### ধাপ ৪: মূল সমাধান নির্ণয়
উপরে, সমীকরণটি দেখাচ্ছে যে, \(z\) এর মান নির্ণয় করতে হলে, আসলে, সমীকরণটি একটি দ্বিনির্ণয় সমাধান।
তবে, প্রশ্নের মূল লক্ষ্য হলো \(z\) এর **বর্গমূল** নির্ণয়।
সুতরাং, আমরা যদি ধরে নিই যে, \(z\) এর মান হলো \(a + bi\), তবে আমাদের লক্ষ্য হলো:
\[
z = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i)
\]
কারণ,
\[
\left| \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i) \right| = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{1^2 + 1^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} = 1
\]
এবং,
\[
\left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i) \right)^2 = \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 (1 + i)^2
\]
\[
= \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) = \frac{1}{2} (1 + 2i - 1) = \frac{1}{2} \times 2i = i
\]
অর্থাৎ, এই মানের বর্গ হলো \(i\)।
তাই, এই সমাধানটি হলো \(z\) এর বর্গমূল।
### চূড়ান্ত উত্তর:
\[
z = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i)
\]
অর্থাৎ,
```html
± \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i)
```
### **সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যা:**
এই ফলাফল দেখায় যে, \(z\) এর বর্গমূল হলো \(\pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i)\)। এটি মূলত একটি ইউনিট গোলকের উপর অবস্থান করে, যেখানে এর মানের মান হল ১ এবং এটি সমাধানের একটি সাধারণ রূপ।
