\( \frac{1}{2} (-1+\sqrt{3}i) \) জটিল সংখ্যার বর্গমূল কোনটি?

প্রশ্ন:

প্রদত্ত জটিল সংখ্যা: \( z = \frac{1}{2} (-1 + \sqrt{3}i) \)। এই সংখ্যার বর্গমূল কোনটি?

সমাধান:

ধরা যাক, \( w \) হলো \( z \) এর বর্গমূল, অর্থাৎ: \[ w = a + bi \] যেখানে \( a, b \) বাস্তব সংখ্যা। তাহলে, \[ w^2 = z \] অর্থাৎ, \[ (a + bi)^2 = \frac{1}{2} (-1 + \sqrt{3}i) \] বিস্তৃতি করি: \[ a^2 + 2abi + (bi)^2 = \frac{1}{2} (-1 + \sqrt{3}i) \] \[ a^2 + 2ab i - b^2 = \frac{1}{2} (-1 + \sqrt{3}i) \] অর্থাৎ, বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমান করতে পারি: \[ \text{বাস্তব অংশ: } a^2 - b^2 = \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{2} \] \[ \text{কাল্পনিক অংশ: } 2ab = \frac{1}{2} \sqrt{3} \] প্রথম সমীকরণ: \[ a^2 - b^2 = -\frac{1}{2} \] দ্বিতীয় সমীকরণ: \[ 2ab = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow ab = \frac{\sqrt{3}}{4} \] এখন, প্রথম সমীকরণ থেকে: \[ a^2 = -\frac{1}{2} + b^2 \] অথবা, \( a \) ও \( b \) এর মান খুঁজতে: \[ a^2 + b^2 = R \] যেখানে \( R \) হলো \( w \) এর মাধ্যাকর্ষণ মান। তবে, আরো সরাসরি সমাধানের জন্য, \( a \) ও \( b \) এর মান খুঁজে বের করি। এখন, \( a \) ও \( b \) এর মানের জন্য পাইথাগোরিয়ান সমীকরণ ব্যবহার করি: \[ a^2 + b^2 = S \] কিন্তু এই পথটি সরাসরি নয়। বরং, আমরা \( a \) বা \( b \) এর মানের জন্য সমীকরণ সেট করি। প্রথম, \( a \) বা \( b \) নির্ণয় করতে: \[ a b = \frac{\sqrt{3}}{4} \] অর্থাৎ, \[ b = \frac{\sqrt{3}}{4a} \] প্রতিস্থাপন করি প্রথম সমীকরণে: \[ a^2 - b^2 = -\frac{1}{2} \] অর্থাৎ, \[ a^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{4a}\right)^2 = -\frac{1}{2} \] \[ a^2 - \frac{3}{16a^2} = -\frac{1}{2} \] উভয় পাশে গুণ করি \( 16a^2 \): \[ 16a^4 - 3 = -8a^2 \] অথবা, \[ 16a^4 + 8a^2 - 3 = 0 \] এটি একটি দ্বিগুণ অশুভ সমীকরণ: \[ 16a^4 + 8a^2 - 3 = 0 \] প্রতিস্থাপন করি \( x = a^2 \): \[ 16x^2 + 8x - 3 = 0 \] এখন, সমাধান করি: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{(8)^2 - 4 \times 16 \times (-3)}}{2 \times 16} \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 192}}{32} \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{256}}{32} \] \[ x = \frac{-8 \pm 16}{32} \] দুটি সমাধান: \[ x = \frac{-8 + 16}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \] \[ x = \frac{-8 - 16}{32} = \frac{-24}{32} = -\frac{3}{4} \] কারণ \( a^2 \) ধনাত্মক হওয়া উচিত, তাই: \[ a^2 = \frac{1}{4} \] অর্থাৎ, \[ a = \pm \frac{1}{2} \] এখন, \( b \) এর মান নির্ণয় করি: \[ ab = \frac{\sqrt{3}}{4} \] অতএব, \[ b = \frac{\sqrt{3}}{4a} \] প্রতিটি মানের জন্য: 1. \( a = \frac{1}{2} \): \[ b = \frac{\sqrt{3}}{4 \times \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 2. \( a = -\frac{1}{2} \): \[ b = \frac{\sqrt{3}}{4 \times -\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] সুতরাং, দুটি সমাধান: \[ w = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \] অথবা, \[ w = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \] আমরা সাধারণত বর্গমূলের জন্য মূল সমাধানটি নিই, কিন্তু ± চিহ্নের অর্থ হলো উভয়ই বর্গমূলের মান। তাই, শেষ উত্তর হলো: \[ w = \pm \frac{1}{2} (1 + \sqrt{3} i) \] এবং এই সমাধানটি প্রশ্নের উত্তর অনুযায়ী।