ABC ত্রিভুজে cosA + cosC = sinB হলে, কোণ ∠A এর মান কত?

Another Explanation (5):

প্রদত্ত প্রশ্নটি হলো:
যদি একটি ত্রিভুজ ABC এ,
cos A + cos C = sin B হয়, তব?? ∠A এর মান কত?

আমরা এই সমাধানটি ত্রিভুজের কোণের সংক্রান্ত সূত্র ও ট্রিগনোমেট্রিক পরিচিতিগুলি ব্যবহার করে করবো।

চরণ ১: ত্রিভুজের কোণের যোগফল

ত্রিভুজের কোণগুলি সমান্যভাবে নির্ণয় করতে, আমরা জানি:

A + B + C = \pi

চরণ ২: সমীকরণটি পুনর্লিখন

প্রদত্ত সমীকরণ:

cos A + cos C = sin B

এখানে, আমরা জানি যে, cos C কে cos (π - (A + B)) হিসেবে প্রকাশ করতে পারি, কারণ:

C = \pi - (A + B)

অতএব,

cos C = cos (\pi - (A + B))

এবং, আমাদের জানা রয়েছে যে:

cos (\pi - \theta) = - \cos \theta

সুতরাং,

cos C = - \cos (A + B)

তাহলে, সমীকরণটি হয়:

cos A - \cos (A + B) = \sin B

চরণ ৩: ট্রিগনোমেট্রিক সমীকরণটি ব্যবহার করে সমাধান

প্রথমত, আমরা cos (A + B) এর জন্য যোগ্য সূত্র ব্যবহার করি:

cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

অতএব,

cos A - (\cos A \cos B - \sin A \sin B) = \sin B

এখানে,

cos A - \cos A \cos B + \sin A \sin B = \sin B

সমীকরণটি পুনরায় সাজানো:

cos A (1 - \cos B) + \sin A \sin B = \sin B

চরণ ৪: সমীকরণটি সহজ করা

এখন, উভয় পাশে থেকে sin B বাদ দিতে পারি:

cos A (1 - \cos B) + \sin A \sin B - \sin B = 0

অথবা,

cos A (1 - \cos B) + \sin B (\sin A - 1) = 0

চরণ ৫: ধরি, \(\sin A = 1\)

অথবা, অন্য উপায় হলো, যদি \(\sin A = 1\), তাহলে,

A = \frac{\pi}{2}

এখন, যদি A = \(\frac{\pi}{2}\), তাহলে,

cos A = 0

এবং, সমীকরণটি হয়:

0 + \sin B (\sin A - 1) = 0

এখানে, \(\sin A = 1\), অতএব,

\sin B (1 - 1) = 0

যা সত্য হয়। এখন, দেখা যাচ্ছে যে, মূল সমীকরণটি ∠A = \(\frac{\pi}{2}\) হলে, তা সমাধান হয়।

উপসংহার:

অতএব, \(\boxed{\frac{\pi}{2}}\)