a,b∈R হলে নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্ন:

যদি \(a, b \in \mathbb{R}\) হয়, তবে নিচের কোনটি সঠিক?

উত্তর:

আমরা দেখাবো যে,

\( |a - b| \leq |a| + |b| \)

সাধারণ সমাধান:

প্রথমে, জানি যে, জন্যে মূল ধারণা হলো ট্রাইঅঙ্গুলার Inequality বা ট্রায়াঙ্গুলার Inequality:

\( |x + y| \leq |x| + |y| \)

এখন, আমাদের মূল অভিপ্রায় হলো \( |a - b| \) এর উপরে উপাদানগুলো বিশ্লেষণ করা।

প্রমাণ:

আমরা লিখি,

\( |a - b| = |a + (-b)| \)

এখন, ট্রাইঅঙ্গুলার Inequality প্রয়োগ করি, যেখানে \(x = a\) এবং \(y = -b\):

\( |a + (-b)| \leq |a| + |-b| \)

এবং, কারণ \(|-b| = |b|\), তাই:

\( |a - b| \leq |a| + |b| \)

উপসংহার:

অতএব, \( |a - b| \leq |a| + |b| \) সব \(a, b \in \mathbb{R}\) এর জন্য সত্য।