intx/(9x^4+4)dx=?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: ধাপ ১: 🧐 প্রথমে, ইন্টিগ্রালটিকে একটু সরল করি: \[ \int \frac{x}{9x^4 + 4} dx \] ধাপ ২: 🤔 এখন, \(x^2 = t\) ধরে নেই। তাহলে, \(2x dx = dt\) হবে। সুতরাং, \(x dx = \frac{1}{2} dt\). তাহলে ইন্টিগ্রালটি হবে: \[ \frac{1}{2} \int \frac{dt}{9t^2 + 4} \] ধাপ ৩: 💪 এবার, \(9t^2 + 4\) থেকে \(9\) কমন নেই: \[ \frac{1}{2} \int \frac{dt}{9(t^2 + \frac{4}{9})} = \frac{1}{18} \int \frac{dt}{t^2 + (\frac{2}{3})^2} \] ধাপ ৪: 🎉 আমরা জানি, \(\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C\). সুতরাং, \[ \frac{1}{18} \int \frac{dt}{t^2 + (\frac{2}{3})^2} = \frac{1}{18} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}} \tan^{-1}(\frac{t}{\frac{2}{3}}) + C \] \[ = \frac{1}{18} \cdot \frac{3}{2} \tan^{-1}(\frac{3t}{2}) + C \] \[ = \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{3t}{2}) + C = \frac{1}{24} \tan^{-1}(\frac{3t}{2}) + C \] ধাপ ৫: ↩️ এখন, \(t = x^2\) বসিয়ে পাই: \[ \frac{1}{24} \tan^{-1}(\frac{3x^2}{2}) + C \] সুতরাং, উত্তর: \[ \int \frac{x}{9x^4 + 4} dx = \frac{1}{24} \tan^{-1}(\frac{3x^2}{2}) + C \]