Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y^2 = 4px \) পরাবৃত্তটির (3, -2) বিন্দু দিয়ে গমন করলে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত একক?
সমাধান:
প্রথমে, পরাবৃত্তির সমীকরণ হলো:
\[
y^2 = 4px
\]
এখানে, উপকেন্দ্রের সমীকরণ হলো:
\[
x = -p
\]
দেওয়া বিন্দুটি হলো \( (x_1, y_1) = (3, -2) \)।
চালিয়ে যাওয়া:
1. **প্যারামিটার নির্ণয়:**
\( y_1^2 = 4p x_1 \)
\[
(-2)^2 = 4p \times 3
\]
\[
4 = 12p
\]
\[
p = \frac{1}{3}
\]
2. **উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:**
\[
x_c = -p = -\frac{1}{3}
\]
\[
y_c = 0
\]
3. **দ্বৈত বিন্দু নির্ণয়:**
পরাবৃত্তির উপর থেকে (3, -2) বিন্দু দিয়ে গমন করলে, এই বিন্দুটি পরাবৃত্তির দুটো বিন্দুর মধ্যে হতে পারে। অন্য বিন্দ??টি \( (x_2, y_2) \)।
প্রতিটি বিন্দু \( (x, y) \) জন্য:
\[
y^2 = 4 p x
\]
অতএব, অন্য বিন্দুটি হলো:
\[
y_2^2 = 4 p x_2
\]
4. **উপকেন্দ্রের সাথে থেকে গমনরত বিন্দুর দূরত্ব:**
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য হলো:
\[
2 \times \text{শক্তি} \text{ থেকে } (x_1, y_1) \text{ গমন করে } (x_2, y_2)
\]
এবং, উপকেন্দ্রের থেকে গমনরত বিন্দুর দূরত্ব হলো:
\[
L = \sqrt{(x_2 - x_c)^2 + (y_2 - y_c)^2}
\]
আমাদের লক্ষ্য হলো এই দূরত্বের দ্বিগুণ, অর্থাৎ:
\[
\text{L} = 2 \times \sqrt{(x_2 - x_c)^2 + y_2^2}
\]
কিন্তু, আমরা জানি \( y_2^2 = 4 p x_2 \), যেখানে \( p = \frac{1}{3} \),
অতএব:
\[
y_2^2 = 4 \times \frac{1}{3} \times x_2 = \frac{4}{3} x_2
\]
আরো, \( x_2 \) এর মান:
\[
x_2 = \frac{y_2^2}{4 p} = \frac{y_2^2}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} y_2^2
\]
5. **দ্বৈত বিন্দু নির্ণয়:**
পরাবৃত্তির উপর বিন্দু \( (x_2, y_2) \):
\[
x_2 = \frac{3}{4} y_2^2
\]
অন্যদিকে, \( (x_2, y_2) \) বিন্দুটি \( (3, -2) \) এর সাথে গমন করলে, তারা একসাথে অবস্থিত। তবে, অন্য বিন্দুটি খোঁজার জন্য, সোজাসাপ্টা পদ্ধতিতে, আমরা জানি:
\[
\text{চল্লিশ} \text{ বিন্দু } (x, y) \text{ জন্য } y^2 = 4 p x
\]
প্রতিটি বিন্দু \( (x, y) \) এর জন্য:
\[
(y + 2)(y - y_0) = 0
\]
অথবা, দ্বৈত বিন্দুর জন্য, মূলত:
\[
x = 3, y = -2
\]
তবে, গমনরত বিন্দুর জন্য, সাধারণত:
\[
\text{দ্বৈত বিন্দু } (x_2, y_2)
\]
যেখানে \( y_2 \neq y_1 \), এবং এদের মধ্যবর্তী সম্পর্ক:
\[
\Rightarrow x_2 = \frac{3}{4} y_2^2
\]
6. **আসুন, নির্ণয় করি:**
প্রথম বিন্দু \( (3, -2) \)
অন্য বিন্দুটি \( (x_2, y_2) \) এর জন্য, এবং তারা গমন করে। এই বিন্দু গমন করে যেখানে:
\[
x_2 = \frac{3}{4} y_2^2
\]
অতএব, দূরত্ব:
\[
L = \sqrt{(x_2 - x_c)^2 + y_2^2}
\]
যেহেতু,
\[
x_c = -\frac{1}{3}
\]
তাই,
\[
L = \sqrt{\left(\frac{3}{4} y_2^2 + \frac{1}{3}\right)^2 + y_2^2}
\]
অথবা, দ্বিগুণ দূরত্বের জন্য:
\[
2L
\]
তাই, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:
\[
\boxed{
\frac{4}{3}
}
\]
**উত্তর:** \(\boxed{\frac{4}{3}}\)
