যদি √5 এককের দুইটি সমান বল 120° কোণে এক বিন্দুতে কাজ করে, তাহলে-

1. তাদের লব্ধি √5 একক 
2. √5 একক বলের সাথে লব্ধি60° কোণ উৎপন্ন করে।
3. লব্ধি বলদ্বয়ের যোগফল অপেক্ষা ছোট

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের বিশ্লেষণ:

একটি √5 এককের দুটি বল এক বিন্দুতে কাজ করে, এবং তারা 120° কোণে অবস্থিত। আমাদের উদ্দেশ্য হলো নিচের বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক তা নির্ণয় করা।

দেওয়া তথ্য:

• দুটি বলের বলের মান = √5 একক
• দুটি বলের মধ্যে কোণ = 120°

প্রথমত: লব্ধি বলের মান নির্ণয় (i):

দুটি সমান বল, \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \), যা 120° কোণে অবস্থিত। লব্ধি বলের মান হবে তাদের ভেক্টর যোগফল।

ভেক্টর যোগফলের মান হবে:

\[ |\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta} \] যেখানে, \( A = B = \sqrt{5} \), এবং \( \theta = 120^\circ \): \[ |\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{5} \times \cos 120^\circ} \] \[ = \sqrt{5 + 5 + 2 \times 5 \times (-\frac{1}{2})} \] (কারণ, \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\)) \[ = \sqrt{10 - 5} = \sqrt{5} \] অর্থাৎ, লব্ধি বলের মান: \[ \boxed{ \text{i: } |\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{5} \text{ একক} } \] ---

দ্বিতীয়ত: লব্ধি বলের সাথে লব্ধি 60° কোণ উৎপন্ন করে (ii):

লব্ধি বলের মান পূর্বে নির্ণয় করা হয়েছে, যা \(\sqrt{5}\) একক।

এখন, বল \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) এর লব্ধি বল \( \vec{R} \) এর সাথে কৌণিক সম্পর্ক নির্ণয় করি।

বলদ্বয়ের মধ্যে কোণ = 120°, বলদ্বয়ের মান = \(\sqrt{5}\)একক।

লব্ধি বলের মান পূর্বে হিসাব করেছি, যা \(\sqrt{5}\)।

তাহলে, লব্ধি বলের সাথে বলদ্বয়ের কোণ \( \phi \) নির্ণয় করতে পারি:

\[ \cos \phi = \frac{\vec{A} \cdot \vec{R}}{|\vec{A}| |\vec{R}|} \] এবং, ভেক্টর গুণের সূত্র অনুযায়ী, যেহেতু বলদ্বয়ের কোণে \(120^\circ\), আমরা বলতে পারি যে লব্ধি বলের সাথে বলদ্বয়ের কোণ নির্ণয় করতে পারি। তবে, সরাসরি হিসাবের জন্য, একটু বিশ্লেষণ করি: \[ \vec{A} \text{ ও } \vec{B} \text{ এর লব্ধি বলের কোণ } \alpha \text{ হবে:} \] \[ \cos \alpha = \frac{\vec{A} \cdot (\vec{A} + \vec{B})}{|\vec{A}| |\vec{A} + \vec{B}|} \] \[ \vec{A} \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = |\vec{A}|^2 + \vec{A} \cdot \vec{B} \] \[ = 5 + |\vec{A}| |\vec{B}| \cos 120^\circ = 5 + 5 \times (-\frac{1}{2}) = 5 - 2.5 = 2.5 \] \[ |\vec{A}| = |\vec{B}| = \sqrt{5} \] \[ |\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{5} \] অতঃ \[ \cos \alpha = \frac{2.5}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] অর্থাৎ, \[ \alpha = \cos^{-1} 0.5 = 60^\circ \] এখানে, লব্ধি বলের সাথে বলদ্বয়ের কোণ \( 60^\circ \)। **অতএব, বিকল্প ii সঠিক।** ---

তৃতীয়ত: লব্ধি বলের যোগফল তুলনায় ছোট (iii):

লব্ধি বলের মান = \(\sqrt{5}\) \(\approx 2.236\)

দুটি বলের যোগফল বলের মানও \(\sqrt{5}\) একক।

এবং, বলদ্বয়ের যোগফল মান একই।

তাহলে, তারা সমান নয়। তাই, বিকল্প iii ভুল।

---

সারসংক্ষেপ:

• তাদের লব্ধি বল = \(\sqrt{5}\) একক (সঠিক)
• লব্ধি বলের সাথে লব্ধি 60° কোণ উৎপন্ন করে (সঠিক)
• লব্ধি বলদ্বয়ের যোগফল অপেক্ষা ছোট (অসত্য)

উত্তর:

i ও ii সঠিক, iii অসত্য।

অতএব, সঠিক উত্তর হবে: "i ও ii"