\( \tan(-15^\circ) \) এর মান কি?

সমাধান:

আমরা জানি, tangent এর negative মানের জন্য:

\[ \tan(-\theta) = -\tan(\theta) \]

সুতরাং,

\[ \tan(-15^\circ) = -\tan(15^\circ) \]

এখন, \(\tan(15^\circ)\) এর মান নির্ণয় করি:

আমরা পরিচিত যে:

\[ \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ} \]

মূল্যমান জানি:

• \( \tan 45^\circ = 1 \)
• \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

অতএব,

\[ \tan 15^\circ = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} \]

প্রথম, সমন্বয় করি numerator ও denominator:

\[ \tan 15^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}} \]

এটি সরলীকরণ করি:

\[ \tan 15^\circ = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \]

এখন, এই ভগ্নাংশটি র্যাশনালাইজ করি:

\[ \tan 15^\circ = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \times \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} \]

উপরে গুণনীয় ও গুণনীয়কের মান:

\[ \tan 15^\circ = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \]

নিম্নলিখিত গুণনীয়ক গুণফল:

• \( (\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \times \sqrt{3} \times 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3} \)
• \( (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2 \)

অতএব,

\[ \tan 15^\circ = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \]

অতএব,

\[ \tan(-15^\circ) = -\tan(15^\circ) = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2 \]

অতএব, উত্তর:

\( \boxed{\sqrt{3} - 2} \)