cot 2A + tan A = ?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\cot 2A + \tan A = ?\)

সমাধান:

প্রথমে, আমাদের দ্বিগুণ কোণের ট্রিগনোমেট্রিক সূত্রগুলি মনে রাখতে হবে:

• \(\cot 2A = \frac{\cos 2A}{\sin 2A}\)
• \(\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\)

দ্বিগুণ কোণের সূত্রগুলি হল:

• \(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\)
• \(\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A\)

এখন, \(\cot 2A\) এর মান লিখি:

\[ \cot 2A = \frac{\cos 2A}{\sin 2A} = \frac{\cos^2 A - \sin^2 A}{2 \sin A \cos A} \]

এখন, উভয় ভগ্নাংশের ওপর \(2 \sin A \cos A\) দিয়ে ভাগ করি:

\[ \cot 2A = \frac{\cos^2 A - \sin^2 A}{2 \sin A \cos A} \]

সাধারণ সূত্র অনুসারে, \(\cos^2 A - \sin^2 A = \cos 2A\), তাই:

\[ \cot 2A = \frac{\cos 2A}{2 \sin A \cos A} \]

অথবা, \(\cot 2A = \frac{\cos 2A}{\sin 2A}\), যা পূর্বে উল্লেখ করা হয়েছে।

এখন, মূল সমীকরণে স্থানান্তর করি:

\[ \cot 2A + \tan A \]

এখানে, \(\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\)।

তাহলে, সমীকরণটি হবে:

\[ \frac{\cos 2A}{\sin 2A} + \frac{\sin A}{\cos A} \]

অতএব, প্রথম ভগ্নাংশের মান লিখি:

\[ \frac{\cos^2 A - \sin^2 A}{2 \sin A \cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} \]

দ্বিতীয় ভগ্নাংশের জন্য সাধারণ ব্রাকেটের মধ্যে আনুন:

\[ \frac{\cos^2 A - \sin^2 A}{2 \sin A \cos A} + \frac{\sin A \cdot 2 \sin A}{2 \sin A \cos A} = \frac{\cos^2 A - \sin^2 A + 2 \sin^2 A}{2 \sin A \cos A} \]

সংযোজন করি numerator-এ:

\[ \frac{\cos^2 A - \sin^2 A + 2 \sin^2 A}{2 \sin A \cos A} = \frac{\cos^2 A + \sin^2 A}{2 \sin A \cos A} \]

এখানে, \(\cos^2 A + \sin^2 A = 1\), তাই:

\[ \frac{1}{2 \sin A \cos A} \]

এটি লিখতে পারি:

\[ \frac{1}{\sin 2A} \]

অতএব, সমাধান হল:

\[ \boxed{\frac{1}{\sin 2A}} = \csc 2A \]

উত্তর: \(\boxed{\csc 2A}\)