যদি \( \tan\theta=t \) তবে \( \cos2\theta \) কত?

প্রশ্ন: যদি \( \tan \theta = t \) তবে \( \cos 2\theta \) কত?

উত্তর: \( \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \)

সমাধান:

Given: \( \tan \theta = t \)

আমরা জানি,
\[
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
\]

তাহলে,
\[
\sin \theta = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}, \quad \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}
\]

এখন, \( \cos 2\theta \) এর জন্য আমরা ব্যবহার করব,
\[
\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1
\]

বা,

\[
\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta
\]

প্রথম পদ্ধতি ব্যবহার করলে,

\[
\cos 2\theta = 2 \left(\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}\right)^2 - 1
\]

এখানে,

\[
\cos^2 \theta = \frac{1}{1 + t^2}
\]

সুতরাং,

\[
\cos 2\theta = 2 \times \frac{1}{1 + t^2} - 1 = \frac{2}{1 + t^2} - 1
\]

যা সমাধান করলে,

\[
\cos 2\theta = \frac{2 - (1 + t^2)}{1 + t^2} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}
\]

অতএব, উত্তর হলো:

\[
\boxed{\frac{1 - t^2}{1 + t^2}}
\]