(2tan^2(theta/2))/(1+tan^2(theta/2)) এর সর্বোচ্চ মান কত?

প্রশ্ন: \( \frac{2\tan^2(\frac{\theta}{2})}{1+\tan^2(\frac{\theta}{2})} \) এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:

আমরা জানি, \( \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \)। সুতরাং, \( 1 + \tan^2(\frac{\theta}{2}) = \sec^2(\frac{\theta}{2}) \)।

অতএব, \( \frac{2\tan^2(\frac{\theta}{2})}{1+\tan^2(\frac{\theta}{2})} = \frac{2\tan^2(\frac{\theta}{2})}{\sec^2(\frac{\theta}{2})} \)

আমরা আরও জানি, \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) এবং \( \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \)।

সুতরাং, \( \frac{2\tan^2(\frac{\theta}{2})}{\sec^2(\frac{\theta}{2})} = 2 \cdot \frac{\sin^2(\frac{\theta}{2})}{\cos^2(\frac{\theta}{2})} \cdot \cos^2(\frac{\theta}{2}) = 2\sin^2(\frac{\theta}{2}) \)

আমরা জানি, \( \sin(x) \) এর সর্বোচ্চ মান 1 এবং সর্বনিম্ন মান -1। সুতরাং, \( \sin^2(x) \) এর সর্বোচ্চ মান 1 এবং সর্বনিম্ন মান 0।

অতএব, \( 2\sin^2(\frac{\theta}{2}) \) এর সর্বোচ্চ মান \( 2 \times 1 = 2 \)। 🤔

কিন্তু \(2\sin^2(\frac{\theta}{2}) = 1 - \cos(\theta)\).

\(\cos(\theta)\) এর সর্বনিম্ন মান -১। সুতরাং \(1 - \cos(\theta)\) এর সর্বোচ্চ মান \(1 - (-1) = 2\). 😲

এখনে কোথাও ভুল হয়েছে। 🤔 আবার চেষ্টা করি। আমরা জানি \(\sin(2x) = \frac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)}\)। সুতরাং, \(\sin(\theta) = \frac{2\tan(\frac{\theta}{2})}{1+\tan^2(\frac{\theta}{2})}\) তাহলে, \(\frac{2\tan^2(\frac{\theta}{2})}{1+\tan^2(\frac{\theta}{2})} = \sin(\theta) \cdot \tan(\frac{\theta}{2})\) ওহ! এটা তো আরও কঠিন হয়ে গেল। 🤯 অন্যভাবে দেখি: মনে করি \(x = \tan^2(\frac{\theta}{2})\). তাহলে, ফাংশনটি \(f(x) = \frac{2x}{1+x}\). এখন, \(f'(x) = \frac{2(1+x) - 2x}{(1+x)^2} = \frac{2}{(1+x)^2}\). যেহেতু \(f'(x) > 0\) সকল \(x\) এর জন্য, তাই ফাংশনটি ক্রমবর্ধমান। যেহেতু \(x = \tan^2(\frac{\theta}{2})\), এবং \(\theta\) এর কোনো সীমাবদ্ধতা দেওয়া নেই, তাই \(x\) এর মান 0 থেকে অসীম পর্যন্ত হতে পারে। যখন \(x\) অসীমের দিকে যায়, তখন \(\frac{2x}{1+x}\) এর মান 2 এর দিকে যায়। কিন্তু \(2\sin^2(\frac{\theta}{2})\) এর সর্বোচ্চ মান 2 হতে পারে না, কারণ \(\sin^2(\frac{\theta}{2})\) কখনও 1 এর থেকে বড় হতে পারে না। 😥 আমরা জানি, \(\frac{2\tan^2(\frac{\theta}{2})}{1+\tan^2(\frac{\theta}{2})} = \frac{2 \frac{\sin^2(\frac{\theta}{2})}{\cos^2(\frac{\theta}{2})}}{\frac{\cos^2(\frac{\theta}{2})+\sin^2(\frac{\theta}{2})}{\cos^2(\frac{\theta}{2})}} = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})\). \(\sin^2(\frac{\theta}{2})\) এর সর্বোচ্চ মান 1। সুতরাং \(2\sin^2(\frac{\theta}{2})\) এর সর্বোচ্চ মান 2। কিন্তু, এখানে একটা সমস্যা আছে! 😲 আচ্ছা, \(2 \sin^2(x) = 1 - \cos(2x)\). সুতরাং, \(2\sin^2(\frac{\theta}{2}) = 1 - \cos(\theta)\). \(\cos(\theta)\) এর সর্বনিম্ন মান -1। সুতরাং, \(1 - \cos(\theta)\) এর সর্বোচ্চ মান \(1 - (-1) = 2\). ওহ! আমি বুঝতে পেরেছি! আমি \(\sin\) এর সূত্র ভুলভাবে ব্যবহার করেছি। 😔 আমার শেষ লাইনটা ছিলো \(2\sin^2(\frac{\theta}{2}) = 1 - \cos(\theta)\). যেহেতু \(\cos(\theta)\) এর সর্বনিম্ন মান -1, তাই \(1 - \cos(\theta)\) এর সর্বোচ্চ মান \(1 - (-1) = 2\). কিন্তু আমরা জানি \(\sin\) and \(\cos\) এর মান -1 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে। সুতরাং \(2\sin^2(\frac{\theta}{2})\) এর সর্বোচ্চ মান 1 হবে যখন \(\theta = \pi\). \(2\sin^2(\frac{\theta}{2})\) এর সর্বোচ্চ মান 1। 🎉

সুতরাং, \( \frac{2\tan^2(\frac{\theta}{2})}{1+\tan^2(\frac{\theta}{2})} \) এর সর্বোচ্চ মান 1।