\( \cos 75^\circ \) এর সঠিক মান --
A. \( \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \)
B. \( \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \)
C. \( -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \)
D. \( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \)
সঠিক উত্তরঃ
D.
\( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \)
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \cos 75^\circ \) এর সঠিক মান --
উত্তর: \( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \)
সমাধান:
আমরা জানি,
\[
\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ)
\]
ব্যবহার করি কসমাইন এর যোগফর্ম সূত্র:
\[
\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B
\]
অতএব,
\[
\cos 75^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ
\]
প্রতিটি মান বসাই:
\[
\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}
\]
সুতরাং,
\[
\cos 75^\circ = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} \right)
\]
গুণফলগুলো সহজ করি:
\[
\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2} \times 1}{4}
\]
\[
= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}
\]
একই নাম্বার দিয়ে ভাগ করি:
\[
= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]
প্রথমে দেখা যায়, এই মানটি আমাদের মূল উত্তরটির কাছাকাছি। এখন, মূল উত্তরটি হলো:
\[
\frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}}
\]
আমরা এটিকে রূপান্তর করি যাতে এটি মূল মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়।
প্রথমে, মূল মানটি গুণ করি \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \) কে \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \):
\[
\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} \times \sqrt{2}) - (\sqrt{2} \times \sqrt{2})}{4 \times \sqrt{2}}
\]
গুণফল করি:
\[
= \frac{\sqrt{12} - 2}{4 \sqrt{2}}
\]
জানা যায়,
\[
\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2 \sqrt{3}
\]
অতএব,
\[
\cos 75^\circ = \frac{2 \sqrt{3} - 2}{4 \sqrt{2}} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{4 \sqrt{2}}
\]
সরল করি:
\[
= \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}}
\]
অর্থাৎ,
\[
\boxed{
\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}}
}
\]
