\( \cos^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ + ... + \cos^2 180^\circ = ? \)
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:
\[
\cos^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ + \dots + \cos^2 180^\circ
\]
এখানে, ধাপক্রমে সমাধান করব। প্রথমে, লক্ষ্য করুন যে, এই যোগফলটি 30° থেকে 180° পর্যন্ত 30° কদমে বৃদ্ধি পেয়ে চলেছে। অর্থাৎ:
\[
\text{Angles: } 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 150^\circ, 180^\circ
\]
তাই, সমাধান হবে:
\[
\sum_{k=1}^{6} \cos^2 (30^\circ \times k)
\]
এখন, প্রতিটি মানের জন্য হিসাব করি।
**প্রথম, ব্যবহার করব পরিচিত ট্রিগোনোমেট্রিক সমীকরণ:**
\[
\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}
\]
অর্থাৎ:
\[
\sum_{k=1}^{6} \cos^2 (30^\circ \times k) = \sum_{k=1}^{6} \frac{1 + \cos (2 \times 30^\circ \times k)}{2}
\]
এখানে:
\[
= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{6} 1 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{6} \cos (60^\circ \times k)
\]
প্রথম অংশ:
\[
\frac{1}{2} \times 6 = 3
\]
দ্বিতীয় অংশ:
\[
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{6} \cos (60^\circ \times k)
\]
এখন, এই যোগফল নির্ণয় করি:
\[
\sum_{k=1}^{6} \cos (60^\circ \times k) = \cos 60^\circ + \cos 120^\circ + \cos 180^\circ + \cos 240^\circ + \cos 300^\circ + \cos 360^\circ
\]
**মান গুলি জানি:**
\[
\cos 60^\circ = \frac{1}{2}
\]
\[
\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}
\]
\[
\cos 180^\circ = -1
\]
\[
\cos 240^\circ = -\frac{1}{2}
\]
\[
\cos 300^\circ = \frac{1}{2}
\]
\[
\cos 360^\circ = 1
\]
যোগ করি:
\[
\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) + (-1) + (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} + 1
\]
সমষ্টি:
\[
(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) + (-1) + (-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + 1
\]
\[
0 - 1 + 0 + 1 = 0
\]
সুতরাং,
\[
\sum_{k=1}^{6} \cos (60^\circ \times k) = 0
\]
অতএব,
\[
\sum_{k=1}^{6} \cos^2 (30^\circ \times k) = 3 + \frac{1}{2} \times 0 = 3
\]
**অতএব, উত্তর হলো:**
\[
\boxed{3}
\]
