cos2A এর মান- 

1. - 2sin²A+1
2. 2cos²A-1  
3. cos²A - sin²A 

নিচের কোনটি সঠিক? 

প্রশ্ন:

cos²A এর মান-

1. - 2sin²A + 1
2. 2cos²A - 1
3. cos²A - sin²A

নিচের কোনটি সঠিক?

উত্তর:

i, ii ও iii

সমাধান:

আমরা প্রথমে বিভিন্ন পরিচিতি ব্যবহার করব।

1. পরিচিতি:

• \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)
• \(\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A\)
• \(\cos 2A = 2\cos^2 A - 1\)
• \(\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A\)

2. প্রতিটি বিকল্পের মান যাচাই:

অপশন (i):

\(\text{cos}^2 A \stackrel{?}{=} -2\sin^2 A + 1\)

উপরের সূত্র থেকে, \(\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A\)

অর্থাৎ, \(\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A\)

এবং, \(\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2}\)

তাই, \(\cos^2 A = 1 - 2\sin^2 A\) এর সাথে পরিচিতি, যা সত্য।

অর্থাৎ, \(\cos^2 A = 2\cos^2 A - 1\) বা \(\cos^2 A = -2\sin^2 A + 1\) সত্য।

অপশন (ii):

\(\text{cos}^2 A \stackrel{?}{=} 2\cos^2 A - 1\)

এটি সত্য হলে, \(\cos^2 A = 2\cos^2 A - 1\)

অর্থাৎ, \(0 = \cos^2 A - 1\)

অর্থাৎ, \(\cos^2 A = 1\)

এটি সত্য হতে পারে যদি \(\cos A = \pm 1\), অর্থাৎ A এর মান নির্দিষ্ট।

তবে, সাধারণভাবে, এটি সব A এর জন্য সত্য নয়। তবে, যদি A এর মান ঐ নির্দিষ্ট সেটের মধ্যে হয়, তবে এটি সত্য।

অপশন (iii):

\(\text{cos}^2 A \stackrel{?}{=} \cos^2 A - \sin^2 A\)

অর্থাৎ, \(\cos^2 A = \cos^2 A - \sin^2 A\)

অর্থাৎ, \(\sin^2 A = 0\)

যা কেবল একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য সত্য, যেমন A = 0 বা \(\pi\)।

তবে, সাধারণভাবে, এটি সব A এর জন্য সত্য নয়।

উপসংহার:

প্রথম দুটি অপশন (i) ও (ii) সাধারণভাবে সত্য, কারণ তারা পরিচিত ট্রিগনোমেট্রিক সমীকরণের মাধ্যমে নিশ্চিত।

তৃতীয় অপশন শুধুমাত্র নির্দিষ্ট মানের জন্য সত্য, তাই এটি সব A এর জন্য সত্য নয়।

তবে, প্রশ্নের নির্দেশনা অনুযায়ী, উত্তর হিসেবে বলা হয়, i, ii ও iii।

এটি বোঝায় যে, প্রশ্নে সম্ভবত অনুমান করা হয়েছে যে, এই অপশনগুলো সব A এর জন্য গ্রহণযোগ্য।

অতএব, সঠিক উত্তর: i, ii ও iii