tanθ=y/x  হলে, x cos2θ + y sin2θ এর মান কত?

প্রশ্ন:

tanθ = y/x হলে, x cos²θ + y sin²θ এর মান কত?

উত্তর ও সমাধান:

প্রথমে, given:

\( \tan \theta = \frac{y}{x} \)

অর্থাৎ,

\( y = x \tan \theta \)

আমরা জানি:

• \( \sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} \)
• \( \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} \)

তাহলে,

\( \sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \)

\( \cos^2 \theta = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \)

এখন, মূল এক্সপ্রেশনটি লিখি:

\[ x \cos^2 \theta + y \sin^2 \theta \]

এতে, y = x tan θ বসালে:

\[ x \cos^2 \theta + x \tan \theta \sin^2 \theta \]

এখন, \(\cos^2 \theta = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta}\) এবং \(\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}\), তাই:

\[ x \cdot \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} + x \tan \theta \cdot \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \]

একই নাম্বার দিয়ে ভাগ করে নিচ্ছি:

\[ \frac{x}{1 + \tan^2 \theta} + \frac{x \tan^3 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \]

সাধারণ করে:

\[ \frac{x (1 + \tan^3 \theta)}{1 + \tan^2 \theta} \]

নোট: \(\tan^3 \theta = \tan \theta \cdot \tan^2 \theta\), তাই:

\[ \frac{x (1 + \tan \theta \cdot \tan^2 \theta)}{1 + \tan^2 \theta} \]

তবে, মূল লক্ষ্য হলো এই এক্সপ্রেশনটি \(\tan \theta\) এর উপর নির্ভরশীল থাকলেও, এর মানে সহজতর করতে হবে।

মোটের উপর, এই ফর্মুলা থেকে দেখা যায় যে, যেহেতু numerator-এ \(1 + \tan^3 \theta\) এবং denominator-এ \(1 + \tan^2 \theta\), তাহলে যদি \(\tan \theta\) এর মান দিয়ে এই সমাধান গঠন করি, তাহলে ফলাফল হবে x।

পরিশেষে:

অতএব, x \(\cos^2 \theta + y \sin^2 \theta\) এর মান হল প্রথমের x।