Another Explanation (5):
সমাধান
প্রশ্ন:
প্রদত্ত সমীকরণ:
\( \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) + \sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right) + \sin^2\left(\frac{8\pi}{7}\right) + \sin^2\left(\frac{9\pi}{14}\right) \)
সমাধান:
প্রথমে, প্রতিটি সাইন ফাংশনের মান বিশ্লেষণ করি:
১. \(\sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right)\)
২. \(\sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right)\)
৩. \(\sin^2\left(\frac{8\pi}{7}\right)\)
৪. \(\sin^2\left(\frac{9\pi}{14}\right)\)
প্রথম ও তৃতীয় সমন্বয়:
\(\sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right)\) ও \(\sin^2\left(\frac{8\pi}{7}\right)\)
তালিকা অনুযায়ী, \(\sin(\pi - x) = \sin x\), তাই:
\[
\sin\left(\frac{8\pi}{7}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)
\]
অতএব:
\[
\sin^2\left(\frac{8\pi}{7}\right) = \sin^2\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) = \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right)
\]
সুতরাং,
\[
\sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) + \sin^2\left(\frac{8\pi}{7}\right) = 2 \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right)
\]
দ্বিতীয় ও চতুর্থ সমন্বয়:
\(\sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right)\) ও \(\sin^2\left(\frac{9\pi}{14}\right)\)
দেখা যাচ্ছে, \(\sin\left(\frac{9\pi}{14}\right) = \sin\left(\pi - \frac{5\pi}{14}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{14}\right)\), কারণ \(\sin(\pi - x) = \sin x\).
অতএব,
\[
\sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right) + \sin^2\left(\frac{9\pi}{14}\right) = 2 \sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right)
\]
অতএব, সমীকরণটি হয়:
\[
2 \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) + 2 \sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right)
\]
অথবা,
\[
2 \left[ \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) + \sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right) \right]
\]
এখন, এই সমানুপাতিক মানের জন্য, আমরা \(\sin^2 x + \sin^2 y\) এর মান নির্ণয় করবো যেখানে \(x = \frac{\pi}{7}\) ও \(y = \frac{5\pi}{14}\).
তিনটি সম্পর্কের মাধ্যমে সমাধান:
\[
\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
\]
সুতরাং,
\[
\sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) = \frac{1 - \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)}{2}
\]
এবং,
\[
\sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right) = \frac{1 - \cos\left(\frac{10\pi}{14}\right)}{2} = \frac{1 - \cos\left(\frac{5\pi}{7}\right)}{2}
\]
অতএব,
\[
\sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) + \sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right) = \frac{1 - \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)}{2} + \frac{1 - \cos\left(\frac{5\pi}{7}\right)}{2}
\]
যা সমান:
\[
\frac{2 - \left[\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{7}\right)\right]}{2}
\]
এখন, আমরা জানি:
\[
\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
\]
অতএব,
\[
\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{7}\right) = 2 \cos\left(\frac{\frac{2\pi}{7} + \frac{5\pi}{7}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{2\pi}{7} - \frac{5\pi}{7}}{2}\right)
\]
\[
= 2 \cos\left(\frac{7\pi/7}{2}\right) \cos\left(\frac{-3\pi/7}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(-\frac{3\pi}{14}\right)
\]
\[
\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
\]
অতএব,
\[
\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{7}\right) = 0
\]
সুতরাং,
\[
\sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) + \sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right) = \frac{2 - 0}{2} = 1
\]
অতএব,
\[
2 \times 1 = 2
\]
**অর্থাৎ, প্রাথমিক সমীকরণের মান:**
\[
\boxed{2}
\]
**উত্তর: 2**
