Another Explanation (5): প্রথমে, আমাদের দেওয়া সমাধান করতে হবে:
\[
\tan\left(\frac{\pi}{12}\right) \times \tan\left(\frac{5\pi}{12}\right) \times \tan\left(\frac{7\pi}{12}\right) \times \tan\left(\frac{11\pi}{12}\right)
\]
এখানে, প্রতিটি কোণের মানকে ডিগ্রীতে রূপান্তর করলে:
\[
\frac{\pi}{12} = 15^\circ, \quad \frac{5\pi}{12} = 75^\circ, \quad \frac{7\pi}{12} = 105^\circ, \quad \frac{11\pi}{12} = 165^\circ
\]
তাহলে সমানুপাতিকভাবে,
\[
\tan(15^\circ) \times \tan(75^\circ) \times \tan(105^\circ) \times \tan(165^\circ)
\]
আমরা জানি যে:
\[
\tan(180^\circ - \theta) = - \tan(\theta)
\]
অর্থাৎ,
\[
\tan(105^\circ) = \tan(180^\circ - 75^\circ) = - \tan(75^\circ)
\]
\[
\tan(165^\circ) = \tan(180^\circ - 15^\circ) = - \tan(15^\circ)
\]
এখন, সমাধানে প্রতিস্থাপন করি:
\[
\tan(15^\circ) \times \tan(75^\circ) \times (- \tan(75^\circ)) \times (- \tan(15^\circ))
\]
যেখানে,
\[
= \tan(15^\circ) \times \tan(75^\circ) \times \tan(75^\circ) \times \tan(15^\circ)
\]
কারণ, দুটি নেতিবাচক ধাপ মিললে তারা পজিটিভ হয়। এখন,
\[
= (\tan(15^\circ))^2 \times (\tan(75^\circ))^2
\]
আমরা জানি যে:
\[
\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ)
\]
ট্যানজেন্টের যোগ সূত্র ব্যবহার করে,
\[
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \times \tan B}
\]
অতএব,
\[
\tan(75^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \times \tan 30^\circ}
\]
জানা,
\[
\tan 45^\circ = 1, \quad \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]
অতএব,
\[
\tan(75^\circ) = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}
\]
রূপান্তর করি,
\[
\tan(75^\circ) = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}
\]
প্রবেশ করানো,
\[
(\tan(75^\circ))^2 = \left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}\right)^2
\]
এখন, আমরা জানি,
\[
(\tan(15^\circ)) = 2 - \sqrt{3}
\]
(একটি মানের পরিমাপ যা সাধারণত জানা যায়)। তাই,
\[
(\tan(15^\circ))^2 = (2 - \sqrt{3})^2 = 4 - 4 \sqrt{3} + 3 = 7 - 4 \sqrt{3}
\]
এবং,
\[
(\tan(75^\circ))^2 = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)^2}
\]
গুণফল করে,
\[
(\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2 \sqrt{3} + 1 = 4 + 2 \sqrt{3}
\]
\[
(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2 \sqrt{3} + 1 = 4 - 2 \sqrt{3}
\]
অতএব,
\[
(\tan(75^\circ))^2 = \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3}}
\]
এখন, সংখ্যক ও বহুগুণের জন্য, মূলত:
\[
\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3}} \times \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3}} = \frac{(4 + 2 \sqrt{3})^2}{(4)^2 - (2 \sqrt{3})^2}
\]
উপরের অংকগুলো সমাধান করি:
নাম্বার:
\[
(4 + 2 \sqrt{3})^2 = 16 + 2 \times 4 \times 2 \sqrt{3} + (2 \sqrt{3})^2 = 16 + 16 \sqrt{3} + 4 \times 3 = 16 + 16 \sqrt{3} + 12 = 28 + 16 \sqrt{3}
\]
ডেনোমিনেটর:
\[
16 - 4 \times 3 = 16 - 12 = 4
\]
অতএব,
\[
(\tan(75^\circ))^2 = \frac{28 + 16 \sqrt{3}}{4} = 7 + 4 \sqrt{3}
\]
অতএব,
\[
\text{অন্তর্বর্তী সমাধান:} \quad (\tan(15^\circ))^2 \times (\tan(75^\circ))^2 = (7 - 4 \sqrt{3}) \times (7 + 4 \sqrt{3})
\]
গুণফল,
\[
= 7^2 - (4 \sqrt{3})^2 = 49 - 16 \times 3 = 49 - 48 = 1
\]
অতএব,
\[
\tan\left(\frac{\pi}{12}\right) \times \tan\left(\frac{5\pi}{12}\right) \times \tan\left(\frac{7\pi}{12}\right) \times \tan\left(\frac{11\pi}{12}\right) = 1
\]
উত্তর: **1**
