3x² + 4y² = 12 উপবৃত্তের -

1. উৎকেন্দ্রিকতা 1/2
2. উপকেন্দ্র (± 1, 0 )
3. নিয়ামক রেখার সমীকরণ y =±√3 

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্নের সমাধান:

প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ:

\[ 3x^2 + 4y^2 = 12 \]

ধাপ ১: সমীকরণকে সাধারণ আয়তক্ষেত্রের রূপে আনা

উপবৃত্তের সাধারণ রূপ:

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

\[ \frac{3x^2}{12} + \frac{4y^2}{12} = 1 \]

এখানে:

\[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \]

\[ a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \]

\[ b^2 = 3 \Rightarrow b = \sqrt{3} \]

ধাপ ২: উপবৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয়

উপবৃত্তের কেন্দ্র (h, k): (0, 0) (কারণ সমীকরণে কোনও স্থানান্তর নেই)।

ধাপ ৩: উপবৃত্তের উদ্দিষ্টবিন্দু নির্ণয়

উপবৃত্তের অক্ষের সমান্তরাল রেখাগুলি হলো x-অক্ষ ও y-অক্ষের সমান্তরাল রেখা।

অর্থাৎ, উপবৃত্তের যেকোনো উদ্দিষ্টবিন্দু (x, y) যেখানে:

• একাধিক সমাধানের জন্য অক্ষের সমান্তরাল রেখাগুলি হলো:
• উৎকেন্দ্র (foci):

ধাপ ৪: উৎকেন্দ্র নির্ণয়

উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রের দূরত্ব (c):

\[ c^2 = a^2 - b^2 \]

এখানে:

\[ c^2 = 4 - 3 = 1 \Rightarrow c = 1 \]

\[ ( \pm c, 0 ) = ( \pm 1, 0 ) \]

উপসংহার

• উৎকেন্দ্র: (±1, 0) — এটি সঠিক।
• উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity):
• উপবৃত্তের জন্য: \( e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} \) — এটি সত্য।
• নিয়ামক রেখার সমীকরণ:
• সমীকরণ: \( y = \pm \sqrt{3} \) — এটি সত্য নয়; কারণ নিয়ামক রেখা স্বাভাবিকভাবে উপবৃত্তের মূল অক্ষের সমান্তরাল বা অক্ষের সমান্তরাল নয়।
• তবে, \( y = \pm \sqrt{3} \) হলো উপবৃত্তের অক্ষের সমান্তরাল রেখাগুলির জন্য নয়।

উপসংহার:

প্রশ্নে উল্লেখিত বিকল্পগুলি অনুযায়ী, সঠিক উত্তর হল:

i ও ii

উত্তর:

উপবৃত্তের জন্য: উৎকেন্দ্রিকতা 1/2

উৎকেন্দ্র: (± 1, 0)

নিয়ামক রেখার সমীকরণ: y = ±√3

সুতরাং, সঠিক উত্তর: i ও ii