Another Explanation (5): সমাধান
প্রথমে, আমাদের দেওয়া উপবৃত্তের সমীকরণ হলো:
\[ 5x^2 + 3y^2 = 1 \]
এটি একটি উপবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ, যেখানে:
\[ \frac{x^2}{\frac{1}{5}} + \frac{y^2}{\frac{1}{3}} = 1 \]
অর্থাৎ,
\[ a^2 = \frac{1}{5} \quad \text{এবং} \quad b^2 = \frac{1}{3} \]
অথবা,
\[ a = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \]
\[ b = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
উপবৃত্তের কেন্দ্র (Center) হলো (0,0)।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে, আমরা লক্ষ্য করব যে, উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বটি মূলত উপবৃত্তের প্রধান ক্ষত্রের (major axis) উপর অবস্থিত।
উপবৃত্তের অক্ষের দৈর্ঘ্য হল:
\[ 2a \quad \text{বা} \quad 2b \]
অভিধানে, বৃহত্তর অক্ষের দৈর্ঘ্য হলো লম্বের দৈর্ঘ্য।
তবে, এখানে প্রশ্নে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য জানতে চাওয়া হয়েছে। উপকেন্দ্রিক লম্বের মান হলো উপবৃত্তের কেন্দ্র থেকে উপকেন্দ্রের দূরত্ব।
উপবৃত্তের দুটি উপকেন্দ্র:
- x অক্ষের জন্য: \[ (\pm a, 0) \]
- y অক্ষের জন্য: \[ (0, \pm b) \]
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ে, আমরা ধরি যে, উপকেন্দ্রের অবস্থান হলো মূল কেন্দ্র থেকে কিছু নির্দিষ্ট দূরত্বে। কারণ, উপকেন্দ্র হলো উপবৃত্তের অক্ষের কেন্দ্রবিন্দু থেকে দূরত্বের মান।
উপবৃত্তের অক্ষের কেন্দ্র থেকে উপকেন্দ্রের দূরত্ব হলো:
\[ c = \sqrt{a^2 - b^2} \]
এখানে,
\[ c = \sqrt{\frac{1}{5} - \frac{1}{3}} \]
\[ c = \sqrt{\frac{3 - 5}{15}} \]
\[ c = \sqrt{\frac{-2}{15}} \]
কিন্তু এটি বাস্তব মান নয়। কারণ, উপবৃত্তের অক্ষের মধ্যে ছোট অক্ষের জন্য, উপকেন্দ্রের দূরত্ব \( c \) এর মান হবে:
\[
c = \sqrt{a^2 - b^2}
\]
এবং আমাদের মানগুলো হলো:
\[ a^2 = \frac{1}{5} \]
\[ b^2 = \frac{1}{3} \]
এখানে, \( a^2 < b^2 \), তাই অক্ষের দৈর্ঘ্য অনুযায়ী:
- বৃহত্তর অক্ষের জন্য:
\[ a = \frac{1}{\sqrt{5}} \]
- ছোট অক্ষের জন্য:
\[ b = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
উপকেন্দ্রের দূরত্ব \( c \) হয়:
\[
c = \sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{5 - 3}{15}} = \sqrt{\frac{2}{15}}
\]
অর্থাৎ,
\[
c = \sqrt{\frac{2}{15}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{15}}
\]
এখন, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য হলো:
\[
2c = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{15}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{15}}
\]
রূপান্তর করলে:
\[
\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{15}} = \frac{2\sqrt{2} \times \sqrt{15}}{\sqrt{15} \times \sqrt{15}} = \frac{2 \sqrt{2 \times 15}}{15} = \frac{2 \sqrt{30}}{15}
\]
সুতরাং, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য হলো:
\[
\boxed{\frac{2 \sqrt{30}}{15}}
\]
অথবা, সরলীকরণ করলে:
\[
\frac{2 \sqrt{30}}{15} = \frac{2}{15} \times \sqrt{30}
\]
উত্তরটি সঠিকভাবে লেখা হলে:
(2√30)/15
**উপসংহার:**
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য হলো \(\frac{2 \sqrt{30}}{15}\)।
