[[a+b+2c,a,b],[c,b+c+2a,b],[c, a, c+a+2b]] নির্ণায়কের মান কত ? 

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, নির্ণায়কটি হল: \[ \begin{vmatrix} a+b+2c & a & b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{vmatrix} \] প্রথমে প্রথম সারি থেকে দ্বিতীয় সারি এবং প্রথম সারি থেকে তৃতীয় সারি বিয়োগ করি: \(R_1 \rightarrow R_1 - R_2\) এবং \(R_1 \rightarrow R_1 - R_3\) \[ \begin{vmatrix} a+b+2c-c & a-(b+c+2a) & b-b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a+b+c & -a-b-c & 0 \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{vmatrix} \] এখন, \(R_1 \rightarrow R_1 - R_3\) \[ \begin{vmatrix} a+b+c-c & -a-b-c-a & 0-(c+a+2b) \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a+b & -2a-b-c & -c-a-2b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{vmatrix} \] এখন প্রথম সারি থেকে -1 কমন নেই : \[ \begin{vmatrix} a+b+c & -(a+b+c) & 0 \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{vmatrix} \] প্রথম সারি থেকে \((a+b+c)\) কমন নেই: \[ (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{vmatrix} \] এখন, \(C_2 \rightarrow C_2 + C_1\) \[ (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ c & b+c+3a & b \\ c & 2c+a & c+a+2b \end{vmatrix} \] এখন প্রথম সারির সাপেক্ষে নির্ণায়কটির বিস্তার করি: \[ (a+b+c) \left[ 1 \cdot \begin{vmatrix} b+c+3a & b \\ 2c+a & c+a+2b \end{vmatrix} \right] \] \[ (a+b+c) \left[ (b+c+3a)(c+a+2b) - b(2c+a) \right] \] \[ (a+b+c) \left[ bc+ab+2b^2+c^2+ac+2bc+3ac+3a^2+6ab - 2bc-ab \right] \] \[ (a+b+c) \left[ 3a^2+2b^2+c^2 + 6ab+3ac+bc \right] \] অন্যদিকে \((a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b) + 6abc\) এখন নির্ণায়কের মান বের করার জন্য অন্য পদ্ধতি অবলম্বন করি। \(C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3\) \[ \begin{vmatrix} 2(a+b+c) & a & b \\ 2(a+b+c) & b+c+2a & b \\ 2(a+b+c) & a & c+a+2b \end{vmatrix} \] প্রথম কলাম থেকে \(2(a+b+c)\) কমন নেই: \[ 2(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & b \\ 1 & b+c+2a & b \\ 1 & a & c+a+2b \end{vmatrix} \] \(R_2 \rightarrow R_2 - R_1\) এবং \(R_3 \rightarrow R_3 - R_1\) \[ 2(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & b \\ 0 & b+c+a & 0 \\ 0 & 0 & c+a+b \end{vmatrix} \] \[ 2(a+b+c) [1 \cdot (b+c+a)(c+a+b) ] \] \[ 2(a+b+c) (a+b+c)^2 \] \[ 2(a+b+c)^3 \] সুতরাং নির্ণায়কের মান \(2(a+b+c)^3\) 🥳