\( \int_{-1}^{2} |x| dx \) এর মান কত?

Explanation: Hints: \(|x| = \begin{cases} -x, & x < 0 \\ x, & x > 0 \end{cases}\) \(\therefore \int_b^a |x| dx = \int_0^b -x dx + \int_0^a x dx; \, a > 0 > b\) Solve: \(\int_{-1}^2 |x| dx = \int_0^{-1} -x dx + \int_0^2 x dx\) \(\ = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^0 + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \left( \frac{1}{2} + 2 \right) = \frac{5}{2}\) Ans. (D) ব্যাখ্যা: Integration এর মূল উদ্দেশ্য Area নির্ণয় করা। এখানে \(|x|\) দ্বারা \(y = x\) এবং \(y = -x\) উভয় অঙ্কন বুঝায়। ফলে Total অংশের Area বের করতে হবে। আর সীমা অনুযায়ী দুইটি সংলগ্ন অংশে ভাগ করা হয়েছে।

Another Explanation (5): ```html

আমরা জানি, পরম মান ফাংশন \( |x| \) কে লেখা যায়:

\[ |x| = \begin{cases} x, & \text{if } x \geq 0 \\ -x, & \text{if } x < 0 \end{cases} \]

অতএব, \( \int_{-1}^{2} |x| dx \) কে দুটি অংশে ভাগ করে লেখা যায়:

\[ \int_{-1}^{2} |x| dx = \int_{-1}^{0} |x| dx + \int_{0}^{2} |x| dx \]

যেহেতু \( -1 \leq x < 0 \) এর জন্য \( |x| = -x \) এবং \( 0 \leq x \leq 2 \) এর জন্য \( |x| = x \), তাই আমরা লিখতে পারি:

\[ \int_{-1}^{0} |x| dx = \int_{-1}^{0} (-x) dx = -\int_{-1}^{0} x dx \] এবং \[ \int_{0}^{2} |x| dx = \int_{0}^{2} x dx \]

এখন, আমরা এই ইন্টিগ্রালগুলো সমাধান করি:

\[ -\int_{-1}^{0} x dx = -\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = -\left( \frac{0^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} \right) = -\left( 0 - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \] এবং \[ \int_{0}^{2} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4}{2} - 0 = 2 \]

সুতরাং, আমাদের মূল ইন্টিগ্রালের মান হলো:

\[ \int_{-1}^{2} |x| dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2} \]

অতএব, \( \int_{-1}^{2} |x| dx = \frac{5}{2} \). 🎉

```