\( \int_{-1}^{1} |x| \ dx \) এর মান কত?

Explanation: Hints: \(|x| = \begin{cases} -x, & x < 0 \\ +x, & x > 0 \end{cases}\) \(\therefore \int_{a}^{b} |x| dx = \int_{0}^{b} xdx + \int_{0}^{a} -xdx; a > 0 > b\) Solve: \(\int_{-1}^{1} |x| dx = \int_{-1}^{0} -xdx + \int_{0}^{1} xdx\) \[ = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \left( 0 + \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} + 0 \right) = 1 \] Ans. (C) ব্যাখ্যা: Integration এর মূল উদ্দেশ্য Area নির্ণয় করা। এখানে \(|x|\) দ্বারা \(y = x\) এবং \(y = -x\) উভয় অংশকে বুঝায়। ফলে আমাদের Total অংশের Area বের করতে হবে। আর এজন্য লিমিটকেও দুইটা সংযোজন অংশে ভাগ করা হয়েছে। By Calculator: ES Calculator এর সাহায্যে সরাসরি খুব সহজেই পরিমাণমাল সম্বলিত ফাংশনের যোগফল নির্ণয় করা সম্ভব। Symbol টা চেপে \(SHIFT\) \(\rightarrow\) hyp ??াটন চাপলে Modulus (Abs) এর সাইনটা পাওয়া যায়। এরপর Lower Limit আর Upper Limit বসিয়ে \(\boxed{=}\) বাটন চাপলে Ans. পাওয়া যায় 1।

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \( \int_{-1}^{1} |x| \ dx \) এর মান কত?

আমরা জানি, \( |x| = \begin{cases} -x, & \text{যদি } x < 0 \\ x, & \text{যদি } x \geq 0 \end{cases} \)

সুতরাং, \( \int_{-1}^{1} |x| \ dx \) কে দুইটি অংশে ভাগ করা যায়:

\( \int_{-1}^{1} |x| \ dx = \int_{-1}^{0} |x| \ dx + \int_{0}^{1} |x| \ dx \)

যেহেতু \( -1 \leq x \leq 0 \) এর জন্য \( |x| = -x \) এবং \( 0 \leq x \leq 1 \) এর জন্য \( |x| = x \), তাইঃ

\( \int_{-1}^{1} |x| \ dx = \int_{-1}^{0} -x \ dx + \int_{0}^{1} x \ dx \)

এখন, ইন্টিগ্রেশন করি:

\( \int_{-1}^{0} -x \ dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = -\frac{0^2}{2} - \left( -\frac{(-1)^2}{2} \right) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)

এবং,

\( \int_{0}^{1} x \ dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \)

অতএব,

\( \int_{-1}^{1} |x| \ dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \)

সুতরাং, \( \int_{-1}^{1} |x| \ dx \) এর মান \( 1 \)। 🎉

```