lim_(x->0)(sin5x)/(tan3x) =কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন: \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\tan 3x}\)

প্রথমে, আমরা জানি যে, \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{kx} = 1\) এবং \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan kx}{kx} = 1\)।

সুতরাং, নিম্নলিখিত রূপে লিখি:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\tan 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \times \frac{5x}{3x} \times \frac{3x}{\tan 3x} \] এখানে, আমরা এই বিভাজন করেছি কারণ প্রত্যেকটি অংশে আমরা লিমিট ব্যবহার করতে পারি।

এখন, লিমিটের গুণফল হিসেবে লিখলে:

\[ = \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \right) \times \left( \lim_{x \to 0} \frac{5x}{3x} \right) \times \left( \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\tan 3x} \right) \] প্রতিটি লিমিট আলাদাভাবে হিসাব করলে:

১. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1\)

২. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{5x}{3x} = \frac{5}{3}\)

৩. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\tan 3x} = 1\)

সুতরাং, সমাধান হলো:

\[ = 1 \times \frac{5}{3} \times 1 = \frac{5}{3} \]

উত্তর:

\(\displaystyle \boxed{\frac{5}{3}}\)