Another Explanation (5): সমাধান:
প্রশ্ন: \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan bx}{\sin a x}\)
প্রথমে, আমরা জানি যে, \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan kx}{kx} = 1\) এবং \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{kx} = 1\)।
অতএব,
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan bx}{\sin a x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan bx}{bx} \times \frac{bx}{a x} \times \frac{a x}{\sin a x}
\]
এখানে, আমরা নিম্নলিখিত লিমিটগুলো ব্যবহার করতে পারি:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan bx}{bx} = 1,\quad \lim_{x \to 0} \frac{\sin a x}{a x} = 1
\]
তাই,
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan bx}{\sin a x} = \left( \lim_{x \to 0} \frac{\tan bx}{bx} \right) \times \left( \lim_{x \to 0} \frac{bx}{a x} \right) \times \left( \lim_{x \to 0} \frac{a x}{\sin a x} \right)
\]
এবং,
\[
= 1 \times \frac{b}{a} \times 1 = \frac{b}{a}
\]
অতএব, উত্তর হলো:
\( \frac{b}{a} \)
