lim_(x->0)(e^x-1)/x =?  

সমাধান:

প্রশ্ন: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)

সমাধানটি আমরা লিমিটের সংজ্ঞা এবং পরিচিত এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনের পরিচিতি ব্যবহার করে সমাধান করব।

প্রথমে, জানি যে, \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \left( \frac{d}{dx} e^x \right) \Big|_{x=0}\), অর্থাৎ, এটি ডিফারেনশিয়াল কনসেপ্টের মাধ্যমে দেখা যায়।

অথবা, আমরা লিমিটের মান নির্ণয়ের জন্য লিমিটের সংজ্ঞা ও লোপিত হারে বিকাশ (Taylor expansion) ব্যবহার করতে পারি।

Taylor Series expansion of \(e^x\):

\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \)

তাহলে,

\(e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \)

অতএব,

\(\frac{e^x - 1}{x} = \frac{x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots}{x}\)

এখানে, সব উপাদানকে \(x\) দিয়ে ভাগ করলে, পাই:

\(\frac{e^x - 1}{x} = 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \dots \)

এখন, যখন \(x \to 0\), তখন এই সমষ্টির সব অতিরিক্ত অংশের মান 0 হয়ে যায়। তাই,

\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)

অথবা, ডেরিভেটিভ ব্যবহার:

উপসংহার, এই লিমিটটি \(f'(0)\), যেখানে \(f(x) = e^x - 1\)।

আমরা জানি, \(f'(x) = e^x\), তাই, \(f'(0) = e^0 = 1\)।

চূড়ান্ত উত্তর:

অতএব,

উত্তর: 1