Explanation: \(\text{Solve: কৌনিক দ্রুততার নিত্যতা সূত্র থেকে কেপলারের 2য় সূত্র প্রমাণ করা যায়।}\) \(\text{Ans. (D)}\) \(\text{ব্যাখ্যা: } d\theta \, \text{ক্ষুদ্র কোণে বলে, } d\theta = \frac{AB}{r}\) \(\implies AB = rd\theta \, [\theta = \text{ব্যাসার্ধ}]\) \(dA = \frac{1}{2} \times r \times rd\theta\) \([ \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} ]\) \(\therefore \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \times r \times \left( r \frac{d\theta}{dt} \right) = \frac{1}{2} \times r \times r \omega \, [\because \frac{d\theta}{dt} = \omega]\) \(\implies \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \times r \times v \, [\because v = \omega r] = \frac{1}{2} Mvr = \frac{1}{2} L \, [\because L = Mvr]\) \(\therefore \frac{dA}{dt} \, \text{স্থির হবে যেহেতু } L \, \text{স্থির।}\) \(\text{অতএব, কেপলারের 2য় সূত্র কৌনিক দ্রুততার নিত্যতা সূত্র থেকে প্রমাণ করা যায়।}\)

Another Explanation (5):

কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র: কৌণিক ভরবেগের নিত্যতা 🚀

কেপলারের দ্বিতীয় সূত্রানুসারে, কোনো গ্রহ যখন সূর্যের চারিদিকে ঘোরে, তখন তার ব্যাসার্ধ ভেক্টর সমান সময়ে সমান ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে। এই সূত্রটি ??সলে কৌণিক ভরবেগের নিত্যতা থেকে প্রতিপাদন করা যায়। নিচে বিস্তারিত আলোচনা করা হলো:

কৌণিক ভরবেগ (Angular Momentum) 🔄

কৌণিক ভরবেগ হলো ঘূর্ণন গতি??? পরিমাপ। কোনো বস্তুর কৌণিক ভরবেগ (L) নির্ণয় করা হয় তার রৈখিক ভরবেগ (p) এবং ঘূর্ণন অক্ষ থেকে দূরত্বের (r) গুণফলের মাধ্যমে:

L = r × p = r × mv যেখানে,

• L = কৌণিক ভরবেগ
• r = ঘূর্ণন অক্ষ থেকে বস্তুর দূরত্ব
• p = রৈখিক ভরবেগ
• m = বস্তুর ভর
• v = বস্তুর বেগ

সূর্যকে প্রদক্ষিণকালে কৌণিক ভরবেগের নিত্যতা ☀️

যখন কোনো গ্রহ সূর্যের চারিদিকে ঘোরে, তখন সূর্যের সাপেক্ষে তার কৌণিক ভরবেগ ধ্রুব থাকে। এর কারণ হলো গ্রহের উপর ক্রিয়াশীল একমাত্র বল হলো সূর্যের মহাকর্ষ বল, যা কেন্দ্রাভিমুখী। এই বল কোনো টর্ক সৃষ্টি করে না। যেহেতু টর্ক (torque) কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার, তাই টর্কের অনুপস্থিতিতে কৌণিক ভরবেগ ধ্রুব থাকে।

ক্ষেত্রফলের হার (Areal Velocity) 🌠

ক্ষেত্রফলের হার হলো একক সময়ে গ্রহের ব্যাসার্ধ ভেক্টর দ্বারা অতিক্রান্ত ক্ষেত্রফল। কৌণিক ভরবেগের নিত্যতার সাথে এর সম্পর্ক নিম্নরূপ:

ক্ষেত্রফলের হার = dA/dt = L / 2m = ধ্রুবক যেখানে:

• dA = অতি অল্প সময়ে অতিক্রান্ত ক্ষেত্রফল
• dt = অতি অল্প সময়
• L = কৌণিক ভরবেগ
• m = গ্রহের ভর

ব্যাখ্যা

উপরের সমীকরণ থেকে স্পষ্ট যে, কৌণিক ভরবেগ (L) ধ্রুব থাকলে ক্ষেত্রফলের হার (dA/dt)-ও ধ্রুব হবে। অর্থাৎ, গ্রহটি সমান সময়ে সমান ক্ষেত্রফল অতিক্রম করবে। এটাই কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র।

সূত্রের প্রমাণ 🤔

কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র প্রমাণ করার জন্য, আমরা প্রথমে একটি গ্রহের সূর্যের চারিদিকে চলার পথে ক্ষুদ্র সময় dt বিবেচনা করি। এই সময়ে গ্রহটি dA ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে। এই ক্ষেত্রফল একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের প্রায় সমান, যার ভূমি r এবং উচ্চতা v dt sinθ (যেখানে θ হলো r এবং v এর মধ্যবর্তী কোণ)।

dA = 1/2 * r * (v dt sinθ) dA/dt = 1/2 * r * v sinθ dA/dt = L / 2m (যেহেতু L = r m v sinθ) যেহেতু L এবং m উভয়ই ধ্রুবক, তাই dA/dt = ধ্রুবক।

সারণী 📊

রাশি	প্রতীক	একক	সম্পর্ক
কৌণিক ভরবেগ	L	kg m²/s	L = r × mv
ক্ষেত্রফলের হার	dA/dt	m²/s	dA/dt = L / 2m
ভর	m	kg	ধ্রুবক

গুরুত্বপূর্ণ বিষয় 🌟

• কৌণিক ভরবেগের নিত্যতা মহাকর্ষীয় বলের অধীনে ঘূর্ণায়মান যে কোনও বস্তুর জন্য প্রযোজ্য।
• কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র গ্রহের কক্ষপথের বেগের পরিবর্তন ব্যাখ্যা করে। যখন গ্রহ সূর্যের কাছে থাকে, তখন তার বেগ বাড়ে এবং যখন দূরে থাকে, তখন বেগ কমে যায়।
• এই সূত্র নিউটনের মহাকর্ষ সূত্রের একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিণতি।

আশা করি, এই আলোচনা থেকে কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র এবং কৌণিক ভরবেগের নিত্যতার মধ্যে সম্পর্ক স্পষ্ট হয়েছে। 😊