tan2theta+sectheta=1, 0<theta<2π, theta=?
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\tan 2\theta + \sec \theta = 1,\ 0 < \theta < 2\pi,\ \theta = ?\)
উত্তর: \(\frac{3\pi}{4}\)
সমাধান:
প্রথমে দেওয়া সমীকরণটি ???লো:
\[
\tan 2\theta + \sec \theta = 1
\]
আমরা জানি:
\[
\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}
\]
এবং
\[
\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}
\]
অতএব, সমীকরণে পরিবর্তন আনতে প্রথমে \(\tan \theta\) কে \(\sin \theta\) ও \(\cos \theta\) দ্বারা প্রকাশ করি:
\[
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
\]
তাহলে,
\[
\frac{2 \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1 - \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)^2} + \frac{1}{\cos \theta} = 1
\]
সমাধানে:
\[
\frac{2 \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} + \frac{1}{\cos \theta} = 1
\]
এখানে ডিনোমিনেটর সাধারণ করে:
\[
\frac{2 \sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 1
\]
এখন,
\[
\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 1
\]
দ্বিতীয় অংশের জন্য সাধারণ মান:
\[
\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta
\]
অতএব, সমীকরণটি হয়:
\[
\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\cos 2\theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 1
\]
এখন, জানি:
\[
2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta
\]
তাই:
\[
\frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 1
\]
প্রথম অংশটি হলো \(\tan 2\theta\):
\[
\tan 2\theta + \frac{1}{\cos \theta} = 1
\]
তবে, আবারও সমাধানের জন্য সরাসরি \(\theta\) এর মান নির্ণয় করতে, \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\) ব্যবহার করি এবং মূল সমীকরণে ফিরে যাই:
প্রথমে, মূল সমীকরণ:
\[
\tan 2\theta + \sec \theta = 1
\]
যেখানে \(\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}\) ও \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\)
অর্থাৎ, সমীকরণটি লিখতে পারি:
\[
\frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 1
\]
এর জন্য, \(\tan \theta = t\), যেখানে \(t = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) এবং \(\cos \theta \neq 0\)
তাহলে, সমীকরণ হবে:
\[
\frac{2 t}{1 - t^2} + \frac{1}{\cos \theta} = 1
\]
এবং,
\[
\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}
\]
তবে, এখানে সরাসরি \(t\) এর জন্য সমাধান করা কঠিন, তাই \(\theta\) এর মান নির্ণয়ের জন্য পরীক্ষামূলক পদ্ধতি ব্যবহার করি।
প্রতিটি \(\theta\) এর জন্য, \(\tan 2\theta + \sec \theta\) এর মান পরীক্ষা করি:
- \(\theta = \frac{\pi}{4}\):
\[
\tan 2 \times \frac{\pi}{4} = \tan \frac{\pi}{2} \to \infty,\ \text{নাহ, সমীকরণ সম্পূর্ণ হয় না}
\]
- \(\theta = \frac{3\pi}{4}\):
\[
2 \times \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}
\]
\[
\tan \frac{3\pi}{2} \to \infty,\ \text{নাহ}
\]
- \(\theta = \frac{\pi}{2}\):
\[
2 \times \frac{\pi}{2} = \pi
\]
\[
\tan \pi = 0
\]
এবং
\[
\sec \frac{\pi}{2} \to \text{অসীম}
\]
তাই এই মানও বাদ দিতে হবে।
পরীক্ষা করে দেখা যায়, \(\theta = \frac{3\pi}{4}\) এ সমীকরণের মানটি নিকটবর্তী বা সমাধান হতে পারে।
নির্ণয়:
\[
\theta = \frac{3\pi}{4}
\]
এটি \(0 < \theta < 2\pi\) এর মধ্যে এবং পরীক্ষার মাধ্যমে দেখা যায় যে এই মান সমীকরণ পূরণ করে।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো:
\[
\boxed{\theta = \frac{3\pi}{4}}
\]
