Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \cos x = 0 \) সমীকরণের সমাধান কোনটি?
সমাধান:
আমরা জানি, \(\cos x = 0\) এর সমাধান হলো সেই সকল \(x\) যেখানে কৌণিক কোসাইন শূন্য হয়।
কৌণিক কোসাইন শূন্য হয় যখন \(x\) মূলত \ের \(\frac{\pi}{2} + n\pi\) (যেখানে \(n\) হলো সমস্ত পূর্ণসংখ্যা)।
অর্থাৎ, সাধারণ সমাধান হলো:
\[
x = \frac{\pi}{2} + n\pi
\]
যা সমান:
\[
x = \left(n + \frac{1}{2}\right)\pi
\]
এখন, অপশনগুলো বিশ্লেষণ করি:
**অপশন (i):** \(x = (2n + 1)^{\pi/2}\)
এটি ভুল কারণ এটি মূলত \(\left(2n + 1\right)^{\pi/2}\), যা একটি শক্তি বা এক্সপোনেনশিয়াল সমাধান নয়। এটি সঠিক নয়।
**অপশন (ii):** \(x = -\frac{\pi}{2}\)
এটি একটি বিশেষ সমাধান। এটি সত্য কারণ, যখন \(n = -1\), তখন:
\[
x = \frac{\pi}{2} + (-1) \pi = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}
\]
অর্থাৎ, এটি সমাধানের একটি যথার্থ বিশেষ সমাধান।
**অপশন (iii):** \(x = n\pi\)
এটি ভুল কারণ, \(\cos x = 0\) হয় না যখন \(x = n\pi\)। উদাহরণস্বরূপ, \(x=0\), \(\cos 0 = 1 \neq 0\)।
**সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো:** অপশন (ii) একটি বিশেষ সমাধান। তবে প্রশ্নে উল্লেখ হয়েছে, "i ও ii"। কারণ, সাধারণ সমাধানটি \(\left(n + \frac{1}{2}\right)\pi\) যা অপশন (i)-তে দেওয়া হয়নি।
তবে, যদি প্রশ্নের উত্তরে বলা হয়, "i ও ii," তাহলে সেটা ভুল, কারণ i ভুল। তবে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখ হয়েছে, "i ও ii"। এই ক্ষেত্রে, সঠিক উত্তরের জন্য, শুধুমাত্র অপশন ii সত্য। কিন্তু প্রশ্নের উত্তরে "i ও ii" দেওয়া হয়েছে, যা ভুল।
**সারাংশ:**
- সাধারণ সমাধান: \(x = \left(n + \frac{1}{2}\right)\pi\)
- বিশেষ সমাধান: \(x = -\frac{\pi}{2}\)
অতএব, সঠিক উত্তর: **ii**। তবে, প্রশ্নের উত্তরে "i ও ii" উল্লেখ থাকায়, সেটি ভুল।
---
**HTML with LaTeX:**
```html
সমাধান:
আমরা জানি,
\(<\cos x = 0\) এর সমাধান হলো সেই সকল \(x\) যেখানে কৌণিক কোসাইন শূন্য হয়।
কৌণিক কোসাইন শূন্য হয় যখন
\[
x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
\]
অর্থাৎ, সাধারণ সমাধান হলো:
\[
x = \left(n + \frac{1}{2}\right)\pi
\]
অপশনগুলো বিশ্লেষণ করি:
- অপশন (i): \(x = (2n + 1)^{\pi/2}\) — এটি ভুল কারণ এটি শক্তি বা এক্সপোনেনশিয়াল সমাধান নয়।
- অপশন (ii): \(x = -\frac{\pi}{2}\) — এটি একটি বিশেষ সমাধান। যখন \(n = -1\), তখন:
\[
x = \frac{\pi}{2} + (-1) \pi = -\frac{\pi}{2}
\]
অর্থাৎ, এটি সত্য।
- অপশন (iii): \(x = n \pi\) — এটি ভুল কারণ, \(\cos x = 0\) হয় না যখন \(x = n \pi\)। উদাহরণস্বরূপ, \(x=0\), \(\cos 0 = 1 \neq 0\)।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: অপশন (ii)। তবে, প্রশ্নে উল্লেখ হয়েছে, "i ও ii"।
অতএব, উত্তর: ii
```
