\( (1+1)^3 + (2+2)^3 + (3+3)^3 + \dots + (10+10)^3 \) এর মান কোনটি?

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: এখানে \( (1+1)^3 + (2+2)^3 + (3+3)^3 + \dots + (10+10)^3 \) এর মান বের করতে হবে। এই সমীকরণের মধ্যে প্রত্যেকটি পদ হলো ২-এর কিউব, অর্থাৎ \( (n+n)^3 = (2n)^3 = 8n^3 \)। তাই, মোট সমীকরণটি হবে \( 8(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3) \)। সমীকরণটি সমাধান করে সঠিক উত্তর \( 8 \times 552 \) পাওয়া যাবে। অপশন বিশ্লেষণ: A. 55: ভুল, সঠিক উত্তর নয়। B. 552: ভুল, সঠিক উত্তর নয়। C. \( 8 \times 552 \): সঠিক, এটি সঠিক সমীকরণের ফল। D. \( 2 \times 55 \): ভুল, এটি সঠিক নয়। E. \( 4 \times 552 \): ভুল, সঠিক নয়। নোট: এই প্রশ্নটি কিউব সুমের মাধ্যমে সমাধান করা হয়েছে এবং সঠিক সমীকরণটি ব্যবহার করে সঠিক উত্তর পাওয়া গেছে।

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \( (1+1)^3 + (2+2)^3 + (3+3)^3 + \dots + (10+10)^3 \) এর মান কোনটি?

সমাধান:

আমরা প্রদত্ত ধারাটিকে এভাবে লিখতে পারি:

\( (1+1)^3 + (2+2)^3 + (3+3)^3 + \dots + (10+10)^3 \)

\( = (2)^3 + (4)^3 + (6)^3 + \dots + (20)^3 \)

এখন, আমরা প্রত্যেকটি পদ থেকে \(2^3\) কমন নিতে পারি:

\( = 2^3 [1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3] \)

\( = 8 [1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3] \)

আমরা জানি, প্রথম \(n\) সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি \( \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 \)। সুতরাং,

\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3 = \left[ \frac{10(10+1)}{2} \right]^2 \)

\( = \left[ \frac{10 \times 11}{2} \right]^2 \)

\( = [5 \times 11]^2 \)

\( = 55^2 \)

\( = 3025 \)

অতএব, নির্ণেয় মান:

\( = 8 \times 3025 \)

\( = 24200 \)

কিন্তু উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য, আমরা \( 8 \times 55^2 \) কে অন্যভাবে লিখতে পারি:

দেওয়া আছে \( 8 \times 55^2 \), কিন্তু আমাদের দরকার \( 8 \times 3025 \)..

তাহলে উত্তরটি সম্ভবত \( 8 \times 3025 = 24200 \) হবে।

যদি প্রশ্নপত্রে \( 8 \times 55^2 \) এর বদলে \( 8 \times (1^3 + 2^3 + ... + 10^3) \) থাকতো, তাহলে সরাসরি \( 8 \times 3025 \) লেখা যেত।

সুতরাং সঠিক উত্তর \(24200\). 🤔

```