Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রথমে দেওয়া বৃত্তের সমীকরণ হলো:
\[ x^2 + y^2 + 4x + 6y - 12 = 0 \]
এটি বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি।
- বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ:
\[ x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \]
এখানে,
\[ 2g = 4 \Rightarrow g = 2 \]
\[ 2f = 6 \Rightarrow f = 3 \]
\[ c = -12 \]
- বৃত্তের কেন্দ্রের সমীকরণ:
\[ (h, k) = (-g, -f) = (-2, -3) \]
অর্থাৎ, প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র:
\[ (h, k) = (-2, -3) \]
এখন, আমাদের বলা হয়েছে, নতুন বৃত্তের কেন্দ্র \((4, 5)\), যা প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে গমন করে। অর্থাৎ, এই নতুন বৃত্তের কেন্দ্রের জন্য, এর সমীকরণ নিম্নরূপ হবে:
\[ x^2 + y^2 + 2g' x + 2f' y + c' = 0 \]
এবং এই কেন্দ্র:
\[ (h', k') = (4, 5) \]
অতএব,
\[ 2g' = -2h' \Rightarrow g' = -h' = -4 \]
\[ 2f' = -2k' \Rightarrow f' = -k' = -5 \]
নতুন বৃত্তের সমীকরণ:
\[ x^2 + y^2 + 2g' x + 2f' y + c' = 0 \]
যেখানে,
\[ 2g' = -8 \Rightarrow g' = -4 \]
\[ 2f' = -10 \Rightarrow f' = -5 \]
এবং কেন্দ্রের জন্য, \( (h',k') = (-g', -f') = (4, 5) \) নিশ্চিত হয়।
এখন, এই নতুন বৃত্তটি প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে গমন করে, অর্থাৎ, প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র থেকে নতুন কেন্দ্রের দূরত্ব \(d\):
\[ d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]
তবে, প্রশ্ন অনুযায়ী, এই নতুন বৃত্তের সমীকরণের জন্য, মূলত এর কেন্দ্র ও গমনরত কেন্দ্রের সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে নতুন সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।
নতুন বৃত্তের সমীকরণ:
\[ x^2 + y^2 - 8x - 10y + c' = 0 \]
প্রথমে, \( c' \) নির্ণয় করি।
চলুন, এই সমীকরণে কেন্দ্রের অবস্থান মানিয়ে নিই। কেন্দ্র:
\[ (h, k) = (4, 5) \]
অর্থাৎ, কেন্দ্রের সমীকরণের জন্য:
\[ h = -g' = 4 \Rightarrow g' = -4 \]
\[ k = -f' = 5 \Rightarrow f' = -5 \]
অতএব, সমীকরণটি:
\[ x^2 + y^2 + 2g' x + 2f' y + c' = 0 \]
\[ x^2 + y^2 - 8x - 10y + c' = 0 \]
বর্তমানে, এই সমীকরণের জন্য, কেন্দ্রের বিন্দু বাদ দিয়ে, ব্যাসার্ধের জন্য \(r'\) নির্ণয় করি।
অতএব, কেন্দ্রের বিন্দু \((4,5)\) দিয়ে এই সমীকরণে বসালে, সমীকরণ সত্য হয়:
\[ (4)^2 + (5)^2 - 8(4) - 10(5) + c' = 0 \]
\[ 16 + 25 - 32 - 50 + c' = 0 \]
\[ (41 - 82) + c' = 0 \]
\[ -41 + c' = 0 \]
\[ c' = 41 \]
অতএব, নতুন বৃত্তের সমীকরণ হলো:
\[ x^2 + y^2 - 8x - 10y + 41 = 0 \]
উপসংহার:
প্রশ্নের উত্তর অনুযায়ী, নতুন বৃত্তের সমীকরণ হলো:
উত্তর:
\( \boxed{ x^2 + y^2 - 8x - 10y + 41 = 0 } \)
